mà
gọi AB=c,AC=b,BC=a
áp dụng t/c đường phân giác và dãy tỉ số bằng nhau vào tam giác ABC tính được DC,BE
\RightarrowDC=[tex]\frac{ab}{a+c}[/tex]
\RightarrowBE=[tex]\frac{ac}{a+b}[/tex]
\Rightarrow[tex]\frac{BI}{BC}[/tex]=[tex]\frac{ID}{DC}[/tex]
\Rightarrow[tex]\frac{BI}{ID}[/tex]=[tex]\frac{BC}{DC}[/tex]=[tex]\frac{a+c}{b}[/tex]
TT [tex]\frac{EI}{IC}[/tex]=[tex]\frac{BE}{BC}[/tex]
\Rightarrow[tex]\frac{IC}{EI}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{c}[/tex]
\Rightarrow[tex]\frac{BI.IC}{ID.EI}[/tex]=[tex]\frac{(a+c)(a+b)}{bc}[/tex]
mà [tex]\frac{2BI.IC}{ID.EI}[/tex]=[tex]\frac{BD.CE}{ID.IE}[/tex](3)
mà [tex]\frac{BD}{ID}[/tex]=[tex]\frac{BC}{DC}[/tex](1)
[tex]\frac{CE}{IE}[/tex]=[tex]\frac{BE}{BC}[/tex](2)
từ(1)(2)(3)
\Rightarrow [tex]\frac{BC.BE}{DC.BC}[/tex]= [tex]\frac{c(a+c)}{b(a+b)}[/tex]
\Rightarrow
[tex]\frac{2BI.IC}{ID.EI}[/tex]= [tex]\frac{c(a+c)}{b(a+b)}[/tex]
\Rightarrow 2[TEX](a+b)^2[/TEX]=[TEX]c^2[/TEX]
mà [tex]\frac{BI.CI}{BD.CE}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\frac{BI}{ID}+BI[/tex]=[tex]\frac{AB}{CB+AB}[/tex]=[tex]\frac{c+a}{a+b+c[/tex]
,[tex]\frac{CI}{CE}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{a+b+c}[/tex]
\Rightarrow dpcm
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