Trên AB,CDcuar h/v:ABCD lấy M,Nsao choAM=CN=AB/3.Gọi K là giao đ' của AN,DM.Hạ KE vuông góc AD
a/C/m:AE/ED=1/2
b/C/m:Trực tâm tam giác ADK nằm trên BC
a,Ta có:
[TEX]CN=\frac{1}{2}CD[/TEX] \Rightarrow [TEX]DN=\frac{2}{3}DC[/TEX]
hay [TEX]DN=\frac{2}{3}AB[/TEX] \Rightarrow [TEX]AM=\frac{1}{2}DN[/TEX]
Vì AM//DN \Rightarrow [TEX]\frac{AK}{KN}=\frac{AM}{DN}=\frac{1}{2}[/TEX]
Vì KI// DN \Rightarrow [TEX]\frac{AE}{ED}=\frac{AK}{KN}=\frac{1}{2}[/TEX] \Rightarrow(đpcm)
b,gọi H là giao điểm của BC và đường cao hạ từ K của [TEX]\triangle\ AKD[/TEX]
Theo C/M câu a, [TEX]\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{AE}{AE+ED}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3} \Rightarrow AE=\frac{1}{3}AD[/TEX]
[TEX]\Diamond ABHE[/TEX] có 3 góc vuông nên là HCN \Rightarrow AE=BH \Rightarrow [TEX]BH=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}BC[/TEX]
[TEX]\Rightarrow HC=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}DC=DN[/TEX]
Xét hai tam giác vuông ADN và DCH có:
AD=DC(gt)
DN=HC (CMT)
\Rightarrow tam giác vuông ADN= tam giác vuông DCH (2 cạnh góc vuông)
[TEX]\widehat{DAN}=\widehat{HDC}[/TEX] (hai góc tương ứng)
\Rightarrow[TEX]\widehat{DAN}+\widehat{AND}=\widehat{HDC}+\widehat{AND}=90^0[/TEX]
[TEX]\triangle ODN[/TEX] có [TEX]\widehat{AND}+\widehat{HDC}=90^0 \Rightarrow \widehat{DON}=90^0[/TEX]
hay [TEX]HD \perp\ AN[/TEX]
\Rightarrow H là giao điểm hai đường cao của [TEX]\triangle AKD[/TEX], mà trong 1 tam giác,3 đường cao đồng quy \Rightarrow H là giao điểm 3 đường cao của [TEX]\triangle AKD[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn