Gọi H là giao điểm của FM và AB
a)Hình vuông ABCD có CA là tia phân giác của $\hat{C}$
và M thuộc AC (gt)
mà $MH\perp AB$ (vì $MF\perp CD$ )
và $ME\perp AD$ (gt)
\Rightarrow MH=ME (tính chất đường phân giác của một góc)
Dễ thấy BH=MF
\Rightarrow $\Delta BHM$ = $\Delta FME$ ( 2 cạnh góc vuông bằng nhau)
\Rightarrow $\widehat{HBM}$ = $\widehat{MFE}$ (cặp góc tương ứng)
Gọi K là giao điểm của BM và EF
ta có $\widehat{KMF}$ = $\widehat{BMH}$ (đối đỉnh)
\Rightarrow $\widehat{KMF}$ + $\widehat{KFM}$ = $\widehat{BMH}$ + $\widehat{HBM}$= $180^o$ - $\widehat{MHB}$ = $180^o - 90^o$ = $90^o$
$\Delta KMF$ có $\widehat{MKF}$=$180^o$ - ($\widehat{KMF}$ + $\widehat{KFM}$)
= $180^o - 90^o$ = $90^o$
\Rightarrow $BM\perp EF$
b) Dễ thấy AHME là hình vuông \Rightarrow AH = ME
mà ME = DF (MEDF là hình chữ nhật)
\Rightarrow AH = DF
\Rightarrow $\Delta BAE$ = $\Delta ADF$ (c-g-c)
\Rightarrow $\widehat{ABE}$ = $\widehat{DAF}$ (cặp góc tương ứng)
Gọi N là giao điểm của BE và AF
ta có: $\widehat{EAN}$+$\widehat{AEN}$
=$\widehat{ABE}$+$\widehat{AEN}$
= $180^o$ - $\hat{A}$ = $180^o-90^o$ = $90^o$
$\Delta AEN$ có $\widehat{ANE}$ = $180^o$ - ($\widehat{EAN}$+$\widehat{AEN}$)
= $180^o-90^o$ = $90^o$
\Rightarrow $AF\perp BE$
c/m tương tự, ta được $CE\perp BF$
Vậy, BM, AF, CE là 3 đường thẳng chứa 3 đường cao của tam giác BEF nên chúng đồng quy
c) ta có $S_{DEMF}$ = ME.ED=AE.ED (không đổi)
và AE+ED= AD (không đổi)
\Rightarrow AE.ED đạt giá trị lớn nhất khi AE=ED hay E là trung điểm của AD \Rightarrow M là trung điểm của AC
vậy, $S_{DEMF}$ đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của AC
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn