Hình học 8 bài khó

[ngothivietha]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hình vuông ABCD. lấy I thuộc cạnh AB sao cho IB=2/3 AB. lấy E thuộc đường chéo AC sao cho AE= 2/3 AC. chứng minh rằng IE vuông góc với DE

 

[ronaldover7]

Trên AB lấy T sao cho T là trung điểm AB,Từ T kéo vuông góc xuống P
ÁP dụng dl Pytago(mình dùng nhìu lắm nên khỏi khi cái áp dụng lại nha)
$BT^2+BC^2=TC^2$
\Rightarrow $\frac{BC^2}{4}+BC^2=TC^2$ (ABCD là hvuong)
\Rightarrow $\frac{5BC^2}{4}=TC^2$
CMTT $AI^2+AD^2=ID^2$
\Rightarrow $ID^2=\frac{10BC^2}{9}$ (ABCD là hvuong)
\Rightarrow $\frac{TC^2}{ID^2}=\frac{5BC^2}{4}:\frac{10BC^2}{9}$=$\frac{9}{8}$
\Rightarrow $\frac{TC}{ID}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
Ta có: $PC^2-PA^2=TC^2-TA^2$(áp dụng dl pytago liên típ)
\Rightarrow (PC-PA)(PC+PA)=$\frac{5BC^2}{4}$-$\frac{AB^2}{4}$
\Rightarrow $AC(PC-PA)= BC^2$

Lại áp dụng dl pytago $AC^2=AB^2+BC^2=2BC^2$ \Rightarrow $AC= \sqrt{2}BC$
\Rightarrow$\sqrt{2}BC(PC-PA)=BC^2$
\Rightarrow $\sqrt{2}(PC-PA)=BC$
\Rightarrow PC-PA=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$
\Rightarrow PC-PA+PA+PC=$\frac{BC}{\sqrt{2}}$+ $\sqrt{2}BC$
\Rightarrow 2PC=$\frac{3BC}{\sqrt{2}}$
\Rightarrow PC=$\frac{3BC}{2.\sqrt{2}}$
\Rightarrow $\frac{PC}{AB}$=$\frac{3BC}{2.\sqrt{2}}$:AB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$(AB=BC)
\Rightarrow $\frac{TC}{ID}$= $\frac{PC}{AB}$
\Rightarrow Tam giác IAB~tam giác TPC(c.g.c)
\Rightarrow $\widehat{IAD}=\widehat{TCA}$
DÙng talet cm dc IE//TC(AI=$\frac{AB}{3}$,AT=$\frac{AB}{2}$\Rightarrow $\frac{AI}{AT}=\frac{2}{3}$ = $\frac{AE}{AC}$
\Rightarrow $\widehat{IDA}=\widehat{IEA}$
\Rightarrow tam giác APD~ tam giác IPE
\Rightarrow tam giác IAP~ tam giác EDP
\Rightarrow $\widehat{PED}=\widehat{PIA}$
\Rightarrow $\widehat{IDA}+\widehat{PIA}$=$\widehat{IEA}$ + $\widehat{PED}$
\Rightarrow $\widehat{IED}$=$90^0$(do tam gáic IAD vuông)

 

[kienthuc_toanhoc]

Dạo qua gặp bài này,mình có cách khác nè!Với bài này ta sử dụng định lý pytago thuận và đảo thì bài này sẽ được chứng mình dễ dàng.
Bài làm
Gọi hình vuông ABCD có cạnh là a.
Lấy P là trung điểm của IB.
Nối P với E.
Ta có EP sẽ song song với BC(Xét hai tam giác đồng dạng AEB và ACB)
và EP=$\dfrac{2}{3}$.BC=$\dfrac{2}{3}$.a
Ta cũng có được tam giác EPI vuông tại P
=>Theo định lý pytago
=>$EP^2$+$IP^2$=$IE^2$
=>$\dfrac{5.a^2}{9}$=$IE^2$
Lấy Z là trung điểm của AD,và điểm T,X chia AD,AC theo tỉ lệ $\dfrac{AT}{AD}$=$\dfrac{1}{3}$;$\dfrac{AX}{AC}$=$\dfrac{1}{3}$.
Ta cũng dễ dàng chứng mình được tam giác ATX đồng dạng với tam giác ADC=>Tam giác XTZ vuông tại T và $\dfrac{XT}{DC}$=$\dfrac{1}{3}$=$\dfrac{a}{3}$.
Ta có TZ=AZ-AT=$\dfrac{a}{6}$
Giờ sử dụng định lý pytago ta tính cho Tam giác XTZ vuông tại T
=>$XZ^2$=$XT^2$+$TZ^2$
=>$XZ^2$=$\dfrac{5.a^2}{36}$
Ta dễ dàng chứng mình được XZ là đường trung bình trong tam giác ADE
=>$DE^2$=$\dfrac{5.a^2}{9}$
Dễ dàng chúng mình được $ID^2$=$\dfrac{10.a^2}{9}$
=>Xét trong tam giác DEI có $DE^2$+$IE^2$=$ID^2$=$\dfrac{10.a^2}{9}$
Theo định lý pytago đảo
=>Tam giác IED vuông tại E
=>Đpcm.