Cho tg ACB vuông tại C có góc A bằng 60 độ. Tia phân giác của BAc cắt BC tại E. Kẻ EK vuông góc với AB tại K. Kẻ BD vuông góc tia AE tại D. Chứng minh:
a, AC=AK, Ae vuông góc với CK
b, KA=KB
c, EB> EC
d, Ba đường thẳng AC, BD, KE đồng quy
a. $ \triangle ACE = \triangle AKE (ch - gn) \Rightarrow AC = AK, EC = EK $ (cạnh tương ứng)
$ \Rightarrow AE $ là đường trung trực của $ CK $
$ \Rightarrow AE \perp CK $
b.
$ AC = AK (cmt), \hat{A} = 60^o (gt) \Rightarrow \triangle ACK $ đều
$ \Rightarrow \hat{A} = \hat{C} = \hat{K} = 60^o, AC = CK = KA $
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $C$ ta có: $ \hat{B} = 90^o - \hat{A} = 30^o $
Lại có $\widehat{KCB} = 90^o - \widehat{ACK} = 30^o $
$ \Rightarrow \hat{B} = \widehat{KCB} (=30^o) $
$ \Rightarrow \triangle KCB $ cân tại $K$
$ \Rightarrow KC = KB $
$ \Rightarrow KA = KB (=KC) $
c.
$ KE \perp AB \Rightarrow KE < EB $ (Q hệ đg vuông góc và đg xiên)
Mà $ KE = CE (cmt) \Rightarrow CE < EB $
d. Gọi giao điểm của $AC, BD $ là $ L$
Ta có:
$ BC \perp AL (\hat{C} = 90^o) $
$ AD \perp BL (gt) $
$ \Rightarrow AD, BC $ là hai đường cao của $\triangle ABL $
$ AD $ cắt $BC $ tại $ E $ nên $ E $ là trực tâm của $ \triangle ABL $
$ \Rightarrow LE \perp AB $
Mà $ EK \perp AB $
$ \Rightarrow L \in EK $ hay $ AC, BD, EK $ đồng quy tại $ L$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
