Trước hết ta có một mệnh đề nhỏ sau: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX] khi và chỉ khi [TEX]\widehat{C}=30^o[/TEX]
(sẽ chứng minh sau)
Chứng minh mệnh đề.
+ Điều kiện cần: [TEX]\bigtriangleup ABC[/TEX] vuông tại A. Cho [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX]. Chứng minh [TEX]\widehat{C}=30^o[/TEX]
(tự vẽ hình)
Giải. Trên tia đối tia AB lấy K sao cho AB=AK.
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup BKC[/TEX] cân tại B (1)
Dễ chứng minh [TEX]\bigtriangleup CAB= \bigtriangleup CAK[/TEX] (c.g.c)
[TEX]\Rightarrow BC=CK \Rightarrow \bigtriangleup BKC[/TEX] cân tại C (2)
Từ (1) và (2) suy ra [TEX]\bigtriangleup BKC[/TEX] đều [TEX]\Rightarrow \widehat{B}=60^o \Rightarrow \widehat{C}=30^o[/TEX] (đpcm)
+ Điều kiện đủ: [TEX]\bigtriangleup ABC[/TEX] vuông tại A. Cho [TEX]\widehat{C}={30^o}[/TEX]. Chứng minh [TEX]AB= \frac{1}{2}BC[/TEX].
Giải. Lấy điểm M trên BC sao cho AM=AB.
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup ABM[/TEX] cân tại A, [TEX]\widehat{C}=30^o \Rightarrow \widehat{B}=60^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AMB[/TEX] đều.
[TEX]\Rightarrow AM=BM=AB \ \ \ \ \ (1)[/TEX]
[TEX]\widehat{BAM}=60^o \Rightarrow \widehat{MAC}=30^o= \widehat{C}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \bigtriangleup MAC[/TEX] cân ở M
[TEX]\Rightarrow AM=MC \ \ \ \ \ \ (2)[/TEX]
Từ (1),(2) suy ra [TEX]AB= \frac{1}{2} (BM+AM)= \frac{1}{2}(BM+MC) \Rightarrow AB= \frac{1}{2}BC[/TEX] (đpcm)
Quay lại bài toán. Vẽ [TEX]AH \bot BC \; ( H \in BC)[/TEX].
Theo mệnh đề tam giác ABH có góc B bằng 60 độ nên [TEX]BH= \frac{1}{2}AB[/TEX].
Phân tích ta có
[TEX]\begin{align} AC^2 & =AH^2+HC^2 \\ & = \left( AB^2-BH^2 \right) + \left( BC-BH \right)^2 \\ & = AB^2-BH^2+BC^2-2.BC.BH+BH^2 \\ & = AB^2+BC^2- 2.BC. \frac{1}{2}.AB \\ & = \fbox{AB^2+BC^2-2.AB.BC } \end{align}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn