Hình,BĐt trong tam giác

[thienthanhnho_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC. đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạnh BC,AC,AB tại M,N,P. c/m rằng:
$S_{MNP}\le \dfrac14 S_{ABC}$

 

[hthtb22]

Đặt $AB=c ; BC=a ;CA=b ; p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Ta có $AP=AN=p-a; BP=BM=p-b ; CN=CM=p-c $

Ta có $\dfrac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AP.AN}{AB.AC}= \dfrac{(p-a)^2}{bc}$

Tương tự :

$\dfrac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\dfrac{(p-b)^2}{ac}$

$\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{(p-c)^2}{ab}$

Như vậy điều phải chứng minh tương đương với:
$A=\dfrac{(p-a)^2}{bc}+\dfrac{(p-b)^2}{ac}+\dfrac{(p-c)^2}{ab} \ge \dfrac{3}{4}$

Thật vậy:
Dùng bđt Svac-sơ ta có:
$A \ge \dfrac{(3p-a-b-c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{p^2}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi tam giác đều.