Hình 9_chuyên đề tỉ số lượng giác

[truongminhthuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$

 

[huongmot]

Kẻ AM là phân giác $\hat{B}$; kẻ $MH \bot BC$

nên $tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}= tan \widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}$

Xét $\triangle ABC$ có AM là phân giác

nên $\dfrac{ AM}{AB}=\dfrac{MC}{BC}(1)$

CM dễ dàng $\triangle MHC\sim \triangle BAC (gg)$

nên $\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{AB}{AC} ; \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{MH+MC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$

Mặt khác, ta cm được $AM= MH$

nên $MH+ MC= AM+MC= AC$

Thay vào ta được $\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$

hay $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{AB+ BC}(2)$

Lại có $\triangle AHC\sim \triangle BMC$

nên $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}(3)$

Từ (2)(3) $\rightarrow \dfrac{MC}{BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}(4)$

Từ (1)(4) $\rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$

$\Rightarrow tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}(đpcm)$

 

[pandahieu]

Một lời giải ngắn gọn hơn nhiều

Ta kẻ tia phân giác BD.Áp dụng tính chất đường phân giác thì

$\dfrac{DA}{BA}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{DA+DC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}$

Ta có tan $\angle \dfrac{ABC}{2}=tan \angle ABD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$(Đpcm)