Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$
T truongminhthuong 17 Tháng chín 2013 #1 [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$ Last edited by a moderator: 18 Tháng chín 2013
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!! ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn. Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$
H huongmot 18 Tháng chín 2013 #2 Kẻ AM là phân giác $\hat{B}$; kẻ $MH \bot BC$ nên $tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}= tan \widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}$ Xét $\triangle ABC$ có AM là phân giác nên $\dfrac{ AM}{AB}=\dfrac{MC}{BC}(1)$ CM dễ dàng $\triangle MHC\sim \triangle BAC (gg)$ nên $\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{AB}{AC} ; \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}$ $\Rightarrow \dfrac{MH+MC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$ Mặt khác, ta cm được $AM= MH$ nên $MH+ MC= AM+MC= AC$ Thay vào ta được $\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$ hay $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{AB+ BC}(2)$ Lại có $\triangle AHC\sim \triangle BMC$ nên $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}(3)$ Từ (2)(3) $\rightarrow \dfrac{MC}{BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}(4)$ Từ (1)(4) $\rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$ $\Rightarrow tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}(đpcm)$
Kẻ AM là phân giác $\hat{B}$; kẻ $MH \bot BC$ nên $tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}= tan \widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}$ Xét $\triangle ABC$ có AM là phân giác nên $\dfrac{ AM}{AB}=\dfrac{MC}{BC}(1)$ CM dễ dàng $\triangle MHC\sim \triangle BAC (gg)$ nên $\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{AB}{AC} ; \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}$ $\Rightarrow \dfrac{MH+MC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$ Mặt khác, ta cm được $AM= MH$ nên $MH+ MC= AM+MC= AC$ Thay vào ta được $\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$ hay $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{AB+ BC}(2)$ Lại có $\triangle AHC\sim \triangle BMC$ nên $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}(3)$ Từ (2)(3) $\rightarrow \dfrac{MC}{BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}(4)$ Từ (1)(4) $\rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$ $\Rightarrow tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}(đpcm)$
P pandahieu 18 Tháng chín 2013 #3 Một lời giải ngắn gọn hơn nhiều Ta kẻ tia phân giác BD.Áp dụng tính chất đường phân giác thì $\dfrac{DA}{BA}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{DA+DC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}$ Ta có tan $\angle \dfrac{ABC}{2}=tan \angle ABD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$(Đpcm)
Một lời giải ngắn gọn hơn nhiều Ta kẻ tia phân giác BD.Áp dụng tính chất đường phân giác thì $\dfrac{DA}{BA}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{DA+DC}{BA+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}$ Ta có tan $\angle \dfrac{ABC}{2}=tan \angle ABD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$(Đpcm)