[Hình 9] Cực trị

[oneclicklogin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có AC vuông góc với BD tại H. Vẽ đường kính AE.
a) C/mR: BDCE là hình thang cân
b) C/mR: [tex]HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=4R^2[/tex]
[tex]AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8R^2[/tex]
[tex]AC^2+BD^2=8R^2-4OH^2 (*)[/tex]
c) Vẽ [tex]HM[/tex] vuông góc với [tex]AB[/tex], MH và NH cắt CD và AD lần lượt tại P,Q. CmR: [tex]PQ//AC[/tex]
d) C/mR: M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD khi AC và BD quay quanh H.

-------------------------------------------------------------------
p/s: Mọi người giải giúp em câu e) nha, thầy em gợi ý: câu e) phải dựa vào [tex](*)[/tex]

 

[angleofdarkness]

e/

Tứ giác ABCD có AC vuông với BD tại H

\Rightarrow $S=\dfrac{1}{2}.AC.BD \le \dfrac{1}{4}.(AC^2+BD^2)$

Theo b/ có $AC^2+BD^2=8R^2-4OH^2$ \Rightarrow $S \le \dfrac{1}{4}.(8R^2-4OH^2)=const$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow AC = BD

 

[angleofdarkness]

a/

(O) đk AE \Rightarrow $\angle ACE=90^o$ hay AC vuông với CE.

Mà AC vuông với BD \Rightarrow CE // BD

\Rightarrow tứ giác BCDE là h.thang

H.thang BCDE nt (O) \Rightarrow BCDE là h.thang cân.

\Rightarrow đpcm.

 

[angleofdarkness]

b/

Có AB vuông với CD ở H.

\Rightarrow $HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=(HA^2+HD^2)+(HB^2+HC^2)=AD^2+BC^2$

BCDE là h.thang cân \Rightarrow BC = DE.

\Rightarrow $HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=AD^2+DE^2$

D $\in$ (O;R) đk AE nên $AD^2+DE^2=AE^2=4R^2$

\Rightarrow $HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=4R^2$

Hai hệ thức kia tương tự là ok

 

[angleofdarkness]

d/

Có PQ // AC // MN \Rightarrow MNPQ là h.thang

Mà $\angle MAQ=\angle MQN+\angle NQP \\ =\angle BAC+\angle HQP \\ =\angle BDC+\angle HPQ \\ =\angle BDC+\angle NHP=\angle NPQ$

\Rightarrow MNPQ là h.thang cân.

\Rightarrow Tứ giác MNPQ nt.