Giải
Ta có: góc BAE = góc BAC – góc CAN = 150° – 60° = 90°.
Nên AE vuông góc với AB
Mà BM cũng vuông góc AB (do góc ABM = 90°)
Suy ra AE//BM
Do đó BM/NE = MD/ND = 1/3 hay NE = 3BM (1)
Xét tam giác vuông ABM có tan(MAB) = BM/AB nên AB = BM/tan(MAB) = BM/tan30° = BM.căn bậc hai của 3
Xét tam gisc vuông ACN có tan(NAC) = NC/AC nên NC = AC.tan(NAC) = AB.tan60° = 3BM (2)
Từ (1) và (2) suy ra NC = NE
Vậy tam giác NEC cân tại N
Mặt khác góc CNA = 90° – góc NAC = 30°
mà góc CNA = góc NCE + góc NEC (góc ngoài tam giác NEC)
do đó góc NCE = góc NEC = 15°
ta cũng có góc ACB = góc ABC = 15° (ABC cân với góc A = 150°)
suy ra góc NCB = 75°
suy ra góc ECB = 15° + 75° = 90°
dẫn đến C thuộc đường tròn đường kính BE
mặt khác A cũng thuộc đường tròn đường kính BE (do góc BAE vuông)
nên ABEC là tứ giác nội tiếp
góc AEB và góc AEC chắn các cung bằng nhau (AB = AC)
nên góc AEB = góc AEC = 15° (3)
Ta lại có góc MAE = góc BAE – góc MAB = 90° – 30° = 60° = góc CAN (4)
Xét hai tam giác ACE và AKE có cạnh AE chung và hai góc bằng nhau theo (3) và (4)
Khi đó ACE = AKE (g–c–g)
Suy ra EK = EC (5)
Xét hai tam giác EFK và EFC thì lại có È là cạnh chung kết hợp dữ kiện (3), (5) suy ra hai tam giác bằng nhau.
Nên góc EKF = góc ECF = 1 vuông
hay KF vuông góc BE (*)
Mặt khác BD/DE = MD/ND = 1/3 (talet và BM//AE)
Suy ra BD = BE/4
tam giác BCE vuông tại C có góc AEC = 30° suy ra BC = BE/2 (6)
nên BD = BC/2 (7)
Từ (6) và (7) thì BD/BC = BC/BE (8)
Hai tam giác BCD và BEC có chung góc EBC và kết hợp (8) nên đồng dạng với nhau
hay góc BDC = góc BCE = 1 vuông
nói cach khác CD vuông góc BE (**)
[FONT="]Từ (*) và (**) ta được KF//CD[/FONT]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
