cho tam giác ABC đều . Lay M bat ki trong tam giác , kẻ MA' , MC' và MC' vuông góc với BC , AC , AB . Tính $\dfrac{MA' + MB' + MC'}{AB' + BC' + CA'}$
Giải
Dựng từ M các tam giác đều xuống ta sẽ dựng 3 tam giác đều trong đó MC',MA',MB' là các đường trugn trực của ba tam giác đều đó.
Ta đánh dấu các tam giác đều lần lượt có MC',MA',MB' là các đường trung trực là MDI,MKH,MEF.
Ta sẽ tính các đường cáo MC',MB',MA' theo định lý py-ta-go.Mình sẽ làm mẫu phần tính MC' trước còn đâu cậu c/m tương tự.
Ta có Theo định lý py-ta-go áp dụng vào tam giác vuông MC'I ta có:
$MC'^2$=$IM^2$-$C'I^2$=$IM^2$- $(\dfrac{IM}{2})^2$=$\dfrac{3.IM^2}{4}$
=>MC'=$\dfrac{\sqrt{3}.IM}{2}$
Tương tự ta chứng minh được rằng MA'=$\dfrac{\sqrt{3}.MH}{2}$,MB'=$\dfrac{\sqrt{3}.ME}{2}$=>Từ đây ta cũng tìm được mối liên hệ của MA' với MH,MB' với ME,MC' với IM.
Ta cũng dễ dàng chứng minh được ID.2=IM=>MC'=$\dfrac{\sqrt{3}.2.IC'}{2}$ tương tự ta cũng có MA'=$\dfrac{\sqrt{3}.2.A'H}{2}$ và MB'=$\dfrac{\sqrt{3}.2.EB'}{2}$
Ta chứng mình dễ dàng được MIAE,MFCH,DMKB là hình bình hành=>Để =>rằng BD=MK=MH;HC=MF=ME;AE=IM=MD.
Từ các kết luận trên ta thay số các đoạn BC'=BD+DC';AB'=AE+EB';A'C=A'H+HC và sẽ được tỉ lệ của $\dfrac{MA' + MB' + MC'}{AB' + BC' + CA'}$(cái này cậu tự tính).
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn