[Hình 8]Tứ giác đến Hình bình hành

M

maloimi456

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: Gọi O là trực tâm của tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và R, S, T lần luọt là trung điểm của OA, OB, OC.
a) Chứng minh: RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để MR, RP, MS bằng nhau.
2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối CB và DA lấy điểm E và F sao cho CE=DF=CD. Từ F kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt DC tại H. Cm: tam giác CBH vuông cân
3: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE, AI cắt nhau tại H. Gọi M, N, P, Q, K, G lần lượt là trung điểm của AB, CA,BC,AH,BH,CH. CMR: M,N,P,Q,K,G,D,E,I cung thuợc 1 đường tròn.
 
I

iceghost

Bạn tự vẽ hình nhá, mình chỉ nói sơ qua thôi
1. Ta có : $MP // BC ; MP = \dfrac12BC \\
ST // BC ; ST = \dfrac12BC$
$\implies MPTS$ là hình bình hành (1)

Lại có : $MP // BC \\
MS // OA$
Mà $OA \perp BC$ ( đường cao )
$\implies MP \perp MS$ (2)

Từ (1), (2) $\implies$ MPTS là hình chữ nhật
$\implies MT = SP$ và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (3)

CMTT với tứ giác MRTN
$\implies MT = RN$ và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (4)

Từ (3), (4) $\implies$ dpcm

b) Khi $\triangle$ ABC đều, các đường cao và đường trung tuyến trùng nhau và bằng nhau
$\implies$ các đường cao $OA, OB, OC$ đồng thời là đường trung tuyến và $OA = OB= OC ( OA = \dfrac23AN;OB = \dfrac23BP;OC = \dfrac23CM , AN = BP = CM )$

Ta có : $MR = \dfrac12OB \\
RP = \dfrac12OC \\
MS = \dfrac12OA$
Mà $OA = OB=OC$ (cmt)
$\implies$ MR = RP = MS
Vậy khi $\triangle$ ABC đều thì $MR=RP=MS$


 
Last edited by a moderator:
I

iceghost

2) Xét tứ giác DCEF có :
$CE = DF \; (gt); CE // DF$ ( cùng $\perp CD$ )
$\implies$ DCEF là hình bình hành
Mà $CE=CD$ (gt)
$\implies$ DCEF là hình thoi ( hbh có hai cạnh bên bằng nhau )
Có : $\hat{D} = 90^o$
$\implies$ DCEF là hình vuông
$\implies$ Các đường chéo đồng thời là đường phân giác
(Chỗ này bạn tự tính tiếp các góc $\widehat{CDE}, \widehat{ECF}, \widehat{DEF}, \widehat{CFE}$ đều bằng $45^o$

Ta có : $\widehat{CFH}=\widehat{CFE}-\widehat{HFE}=45^o-(90^o-\widehat{AEF})=\widehat{AEF}-45^0=\widehat{AEF}-\widehat{DEF}=\widehat{DEA}$

Lại có : $\widehat{ADE}=\widehat{ADC}+\widehat{CDE}=90^o+45^o=135^o \\
\widehat{HCF}=\widehat{HCE}+\widehat{ECF}=90^o+45^o=135^o$
$\implies \widehat{ADE}=\widehat{HCF}$

Xét $\triangle{AED}$ và $\triangle{HFC}$ có :
$\widehat{DEA}=\widehat{CFH}$ (cmt)
$DE=CF$ ( Hai đường chéo hình vuông )
$\widehat{ADE}=\widehat{HCF}$ (cmt)
$\implies \triangle{AED} = \triangle{HFC}$ (g.c.g)
$\implies CH = AD$

Xét $\triangle{CBH}$ vuông tại C có :
$CH = CB ( = AD )$
$\implies$ dpcm

Nếu có gì khó hiểu hỏi minh :)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom