[hình 8] thi học sinh giỏi

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH ( H thuộc BC). Trên tia HC lấy D sao cho HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) CM: BEC đồng dạng ADC. Tính BE theo m= AB.
b) M là trđiểm BE. CM: BHM đồng dạng BEC. Tính góc AHM
c) tia AM cắt BC tại G. CM: GB/BC=HD/AH+HC


P/s: đặt đúng tiêu đề nha bạn

 

[thaolovely1412]

a) Từ E kẻ [TEX]EK \bot AH[/TEX]
Tứ giác EKHD có: [TEX]\widehat{EKH}=\widehat{KHD}=\widehat{HDE}=90^o[/TEX]
\Rightarrow EKHD là hình chữ nhật \Rightarrow EK=HD=AH
Ta có: [TEX]\widehat{HAB}+\widehat{KAE}=90^o[/TEX]
[TEX]\widehat{KAE}+\widehat{KEA}=90^o[/TEX] (tam giác AKE vuông tại K)
\Rightarrow [TEX]\widehat{HAB}=\widehat{KEA}[/TEX]
Xét [tex]\large\Delta[/tex] ABH và [tex]\large\Delta[/tex] EAK có:
[TEX]\widehat{AHB}=\widehat{EKA}=90^o[/TEX],[TEX]\widehat{HAB}=\widehat{KEA}[/TEX], EK=AH
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] ABH [TEX]=[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] EAK (g.c.g)
\Rightarrow AB=AE
Tam giác ABE có: AB=AE,[TEX] \widehat{BAE}=90^o[/TEX] nên tam giác BAE vuông cân tại A
\Rightarrow [TEX]\widehat{AEB}=45^o[/TEX] \Rightarrow [TEX]\widehat{BEC}=180^o-45^o=135^o[/TEX]
Tam giác HAD vuông tại H có HD=HA nên tam giác HAD vuông cân tại H
\Rightarrow[TEX] \widehat{ADH}=45^o[/TEX] \Rightarrow [TEX]\widehat{ADC}=180^o-45^o=135^o[/TEX]
Xét [tex]\large\Delta[/tex] ADC và [tex]\large\Delta[/tex] BEC có:
[TEX]\widehat{ADC}=\widehat{BEC}=135^o[/TEX], [TEX]\widehat{C}[/TEX] chung
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] ADC [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] BEC (g.g)

 

[thaolovely1412]

b) Tam giác ABE vuông tại A có AM là trung tuyến nên [TEX]AM=\frac{1}{2}BE[/TEX]
Tam giác DBE vuông tại D có DM là trung tuyến nên [TEX]DM=\frac{1}{2}BE[/TEX]
Xét [tex]\large\Delta[/tex] AHM và [tex]\large\Delta[/tex] DHM có:
[TEX]DM=AM=\frac{1}{2}BE[/TEX]; HM chung; HA=HD
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] AHM [TEX]=[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] DHM (c.c.c)
\Rightarrow [TEX]\widehat{AHM}=\widehat{DHM}=\frac{1}{2}\widehat{AHD}=45^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{BHM}=\widehat{AHB}+\widehat{AHM}=90^o+35^o=135^o[/TEX]
Xét [tex]\large\Delta[/tex] BHM và [tex]\large\Delta[/tex] BEC có:
[TEX]\widehat{BHM}=\widehat{BEC}=135^o[/TEX], [TEX]\widehat{MBH}[/TEX] chung
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BHM [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] BEC (g.g)

 

[thaolovely1412]

c)Ta có: [TEX]\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90^o[/TEX]
[TEX]\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^o[/TEX] (tam giác AHC vuông tại H)
Xét [tex]\large\Delta[/tex] AHB và [tex]\large\Delta[/tex] AHC có:
[TEX]\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o[/TEX], [TEX]widehat{HAB}=\widehat{C}[/TEX]
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] AHB [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] CHA (g.g)
\Rightarrow [TEX]\frac{AH}{HC}=\frac{AB}{AC}[/TEX]
Tam giác BAE vuông cân tại A (cmt) nên AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác
\Rightarrow AG là phân giác của [TEX]\widehat{BAC}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}[/TEX]
Do đó: [TEX]\frac{AH}{HC}=\frac{GB}{GC}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{AH}{AH+HC}=\frac{GB}{GB+GC}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{AH}{HD+HC}=\frac{GB}{BC}[/TEX]
\Rightarrow đpcm