[Hình 8] Nâng cao về hình chữ nhật

[tiasangmangtenss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho tam giác ABC vuông ở A. M thuộc BC. D,E là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB,AC.
a) Cho I là trung điểm DE. Khi M chuyển động trên BC thì I chuyển động trên đoạn thẳng nào? Vì sao?
b) Tìm vị trí của M trên BC để DE là nhỏ nhất.

2) Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, O là giao điểm các đường trung trực. P,Q,N là trung điểm các đoạn AB,AH,AC.
a) C/m OPQN là hình bình hành
b) $\triangle ABC$ cần điều kiện gì để OPQN là hình chữ nhật

3) Cho tam giác ABC cân tại A. D thuộc BC, từ D kẻ đường thẳng vuông góc vời BC, giao AB,AC ở E và F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH, CDFK. I,J là tâm các hình chữ nhật. M là trung điểm AD.
a) C/m: trung điểm HK là điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của D trên BC
b) C/m: I,M,J thẳng hàng và AD,HJ,KI đồng quy
c) Khi D chuyển động trên BC thì M chuyển động trên đoạn thẳng nào?

4) Cho tam giác ABC, từ A kẻ các đường AP,AQ theo thứ tự vuông góc với phân giác ngoài của $\hat{B}$. Các đường AR,AF theo thứ tự vuông góc với các góc trong và ngoài của $\hat{C}$. C/m:
a) APBQ,ARCF là hình chữ nhật
b) Q,R,P,F thẳng hàng
c) $QF = \frac{1}{2} (AB+BC+CA)$

 

[manhnguyen0164]

1. AEMD là hình chữ nhật mà ID=IE $\rightarrow$ A đối xứng với M qua I

a) Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB,AC tại P,Q.

$IP//BM, IA=IM \rightarrow AP=PB$ ; $IQ//MC, AI=IM \rightarrow AQ=QC$

Khi M di chuyển trên BC thì I di chuyển trên PQ hay trên đường trung bình của $\Delta ABC$ ( cố định).

b) DE nhỏ nhất $\iff$ AM nhỏ nhất $\iff AM\perp BC$.

 

[manhnguyen0164]

2. PQ là đường trung bình $\rightarrow PQ//BH$

$BH\perp AC, ON\perp AC \rightarrow BH//ON$. Do đó $PQ//ON$.

Vẽ điểm E đối xứng với A qua O. $\Delta ABE$ có: $OB=OA=OE$ nên $AB\perp BE$

PO là đường trung bình $\rightarrow PO//BE \rightarrow PO\perp AB$ mà $CH\perp AB \rightarrow PO//CH$

QN là đường trung bình $\rightarrow QN//CH \rightarrow QN//PO$

$PQ//NO, PO//QN \rightarrow$ QNOP là hình bình hành.

OPQN là hình chữ nhật $\rightarrow PQ\perp PO$