[Hình 8] Đề HSG

[welcome_yoyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Toán 8] Thảo luận về Đề HSG!

Hôm nay mình lập topic này mong các bạn yêu toán có thể trao đổi với nhau các vấn đề về toán học từ những vấn đề đơn giản cho đến những vấn đề phức tạp và hay hơn để chuẩn bị cho kì thi HSG đang cận kề!
Mở đầu mình lấy đề thử của trườnng mình nhé! ( Mấy câu này mình chưa làm ra)
Câu 1:Cho hình thoi ABCD có $AB=AC$. Đường thẳng d chay quanh điểm B cắt AD ở E, DC ở F.
a) Tìm vị trí của đường thẳng d để $AF^2+CE^2$ nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng: Tam giác EAC đồng dạng với tam giác AFC
c) Chưng minh răng: $\widehat{EOF}$ không đổi
Câu 2: Chứng minh rằng: Với các số thực a,b,c,d thì ta luôn có bất đẳng thức sau:
$$a^2+b^2+c^2+d^2+1>=a(b+c+d+1)$$
(câu này mình có thử dùng xét hiệu rồi nhưng thừa nhiều số quá @@)
Câu 3: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d+e=4$
Tìm GTNN (Min) của biểu thức $P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$
Bài này các bạn giúp mình giải theo BĐT Côsi nhé!

 

[siaky_kotoko]

Câu 1 là cho hình thoi hay hình thang vậy em, kiểm tra lại đề đi nhé:Mpetrified::M040::M_nhoc2_38:

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzz

Câu 2: Chứng minh rằng: Với các số thực a,b,c,d thì ta luôn có bất đẳng thức sau:
$$a^2+b^2+c^2+d^2+1>=a(b+c+d+1)$$
(câu này mình có thử dùng xét hiệu rồi nhưng thừa nhiều số quá @@)

$a^2+b^2+c^2+d^2+1$\geq$a(b+c+d+1)$
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2+d^2+1$\geq$ab+ac+ad+a$
\Leftrightarrow $4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4$\geq$4ab+4ac+4ad+4a$
\Leftrightarrow $(a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4a+4)$ \geq $0$
\Leftrightarrow $(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2)^2$ \geq $0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=2b=2c=2d=2$ \Leftrightarrow $a=2$;$ b=c=d=1$.

 

[welcome_yoyo]

Cảm ơn bạn1um1nhemtho1 nhé, mình cũng nhân vs 4 nhưng ghép sai, cảm ơn bạn nhé
siaky_kotoko: chị ơi, đề là hình thoi đúng đấy chị ạ! ^^

 

[welcome_yoyo]

$a^2+b^2+c^2+d^2+1$\geq$a(b+c+d+1)$
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2+d^2+1$\geq$ab+ac+ad+a$
\Leftrightarrow $4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4$\geq$4ab+4ac+4ad+4a$
\Leftrightarrow $(a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4a+4)$ \geq $0$
\Leftrightarrow $(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2)^2$ \geq $0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=2b=2c=2d=2$ \Leftrightarrow $a=2$;$ b=c=d=1$.

Cảm ơn bạn nhiều, nhưng mà cho \forall số thực rồi vẫn cần xét dấu "='' xảy ra à bạn?
siaky_kotoko: Đề là hình thoi ạ! ^^

 

[1um1nhemtho1]

Cảm ơn bạn nhiều, nhưng mà cho \forall số thực rồi vẫn cần xét dấu "='' xảy ra à bạn?
siaky_kotoko: Đề là hình thoi ạ! ^^

àh, cái này mình quen rồi nên xét thêm thôi . Bạn không xét cũng được mà

 

[1um1nhemtho1]

Câu 3: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d+e=4$
Tìm GTNN (Min) của biểu thức $P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$

ta có BĐT: $(x+y)^2$ \geq $4xy$. ( dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$)
Áp dụng lần lượt BĐT này ta có:
$[(a+b+c+d)+e]^2$ \geq $4(a+b+c+d).e$ \Leftrightarrow $16$ \geq $4(a+b+c+d).e$
\Leftrightarrow $4$ \geq $(a+b+c+d).e$
\Leftrightarrow $4(a+b+c+d)$ \geq $(a+b+c+d)^2.e = [(a+b+c)+d]^2.e$ \geq $4(a+b+c)de$
\Rightarrow $ (a+b+c+d)$ \geq $(a+b+c)de$
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)(a+b+c)$ \geq $(a+b+c)^2de = [(a+b)+c]^2de$ \geq $4(a+b)cde$
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$ \geq $4(a+b)^2cde$ \geq $16abcde$
\Rightarrow $P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$ \geq $16$
\Rightarrow ${P_{min}} =16$ xảy ra khi $a+b+c+d=e$; $a+b+c=d; a+b=c; a=b$
kêt hợp với $a+b+c+d+e=4$ \Rightarrow $a=b=\frac{1}{4}; c=\frac{1}{2}; d=1; e=2$

 

[welcome_yoyo]

Bạn

1um1nhemtho1

, cách đó thì mình làm ra rồi nhưng mà bài 3 bạn có thể làm theo cách áp dụng BĐT Côsi không?

 

[welcome_yoyo]

Tiếp này!
Tìm giá trị của $a^100 + b^100 + c^100$. Biết:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ Và $a^3+b^3+c^3=2^9$

 

[welcome_yoyo]

ta có BĐT: $(x+y)^2$ \geq $4xy$. ( dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$)
Áp dụng lần lượt BĐT này ta có:
$[(a+b+c+d)+e]^2$ \geq $4(a+b+c+d).e$ \Leftrightarrow $16$ \geq $4(a+b+c+d).e$
\Leftrightarrow $4$ \geq $(a+b+c+d).e$
\Leftrightarrow $4(a+b+c+d)$ \geq $(a+b+c+d)^2.e = [(a+b+c)+d]^2.e$ \geq $4(a+b+c)de$
\Rightarrow $ (a+b+c+d)$ \geq $(a+b+c)de$
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)(a+b+c)$ \geq $(a+b+c)^2de = [(a+b)+c]^2de$ \geq $4(a+b)cde$
\Leftrightarrow $(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$ \geq $4(a+b)^2cde$ \geq $16abcde$
\Rightarrow $P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$ \geq $16$
\Rightarrow ${P_{min}} =16$ xảy ra khi $a+b+c+d=e$; $a+b+c=d; a+b=c; a=b$
kêt hợp với $a+b+c+d+e=4$ \Rightarrow $a=b=\frac{1}{4}; c=\frac{1}{2}; d=1; e=2$

Bạn 1um1nhemtho1 , cách đó thì mình làm ra rồi nhưng mà bài 3 bạn có thể làm theo cách áp dụng BĐT Côsi không?