[Hình 8] CM: 4 đường đồng quy

[macarongno.1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong tứ giác ABCD gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. CMR: 4 đường AA', BB', CC', DD' đồng quy.

P/s: Sách của mình giải như vậy:

Gọi E và F là trung điểm của AC và BD; I là trung điểm của A'C. ta có: EI//AA', do đó AA' đi qua trung điểm M của EF. Tương tự BB", CC' và DD' cũng đi qua M

Cái mình ko hiểu ở đây là sao EI//AA' mà AA' lại đi qua trung điểm M của EF

Phần tương tự cm sao nữa

 

[huongmot]

Gọi M là giao của EF và AA'
Ta có: $EI// AA'$ (đường trung bình)
nên $MA'// EI$
Xét $\triangle BCD$: A' là trọng tâm; F là trung điểm BD
\Rightarrow $A' \in CF$
\Rightarrow $A'C= \dfrac{2}{3}CF$ và $A'F=\dfrac{1}{3}CF$ (đ/lý)
nên $A'F=\dfrac{1}{2}A'C$
Mặt khác I là trung điểm A'C
\Rightarrow $A'F= A'I$ \Leftrightarrow A' là trung điểm IF
Xét $\triangle FEI$
Có: $MA'// EI$ và A' là trung điểm FI
\Rightarrow M là trung điểm EF
\Rightarrow AA' đi qua trung điểm EF

Phần CMTT thì bạn lấy trung điểm của $AC' ; B'D ; D'B$ rồi chứng minh tương tự như trên để ra các đường đều đi qua trung điểm EF là xong

 

[boboiboydiatran]

3. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD
I là trung điểm của EF, J là trung điểm của A'C

_ Tam giác CAA' có IJ là đường trung bình nên EJ // AA'
_ Tam giác FEJ có AA' qua trung điểm A' của FJ và // với EJ nên AA' qua trung điểm I của FE
_ Tương tự, ta chứng minh được BB', CC', DD' qua I
_ Các đường thẳng trên đồng quy tại I.

 

[0973573959thuy]

Gọi M là giao của EF và AA'
Ta có: $EI// AA'$ (đường trung bình)
nên $MA'// EI$
Xét $\triangle BCD$: A' là trọng tâm; F là trung điểm BD
\Rightarrow $A' \in CF$
\Rightarrow $A'C= \dfrac{2}{3}CF$ và $A'F=\dfrac{1}{3}CF$ (đ/lý)
nên $A'F=\dfrac{1}{2}A'C$
Mặt khác I là trung điểm A'C
\Rightarrow $A'F= A'I$ \Leftrightarrow A' là trung điểm IF
Xét $\triangle FEI$
Có: $MA'// EI$ và A' là trung điểm FI
\Rightarrow M là trung điểm EF
\Rightarrow AA' đi qua trung điểm EF

Phần CMTT thì bạn lấy trung điểm của $AC' ; B'D ; D'B$ rồi chứng minh tương tự như trên để ra các đường đều đi qua trung điểm EF là xong

Trời! Bạn ngộ nhận rồi. Sao bạn biết $MA' // EI$
Bài toán này chỉ cần chứng minh MA' // EI là ra.
Mặt khác đề bài đã cho M là trung điểm của EF rồi bạn còn chứng minh lại làm gì.

Bài giải: ​

Vì A' là trọng tâm của tam giác BCD nên A'F = $\dfrac{1}{2} A'C$
Mà $A'I = IC = \dfrac{1}{2}A'C (gt)$ nên A'F = A'I (= $\dfrac{1}{2} A'C$)
\Rightarrow A' là trung điểm của FI.
Xét tam giác FEI có :
M là trung điểm của FE
A' là trung điểm của FI
\Rightarrow MA' // EI (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà AA' // EI (tính chất đường trung bình trong tam giác AA'C)
Như vậy qua điểm M nằm ngoài EI có 2 đoạn thẳng song song với EI là MA' và AA'. Điều này trái với tiên đề Ơ - clit về hai đường thẳng song song. Vậy AA' $\equiv$ MA'
\Rightarrow AA' đi qua M

 

[huongmot]

Trời! Bạn ngộ nhận rồi. Sao bạn biết $MA' // EI$
Bài toán này chỉ cần chứng minh MA' // EI là ra.
Mặt khác đề bài đã cho M là trung điểm của EF rồi bạn còn chứng minh lại làm gì.

Cũng tương tự cách làm của bạn thôi, chẳng qua là ngược lại
Vì M là giao AA' và EF (trong phần bài làm của mình) nên M thuộc AA' \Rightarrow MA'//EI
Với cả đề bài không cho M là trung điểm của EF. Đó là phần gợi ý trong sách của bạn macarongno.1 nên chứng minh M là trung điểm của EF hay chứng minh AA' đi qua trung điểm M lấy sẵn đều được