Cho tam giác ABC : A thuộc AB : AM = 1/4 AB
N là trung điểm AC , P là trung điểm AB
D thuộc tia đối CB: CD = 1/2 CB
Q là trung điểm BC , NQ cắ PC tại I
C/m a) MN // PC
b) I là trung điểm QN
c) M , N , D thằng hàng
+ Ta có: $AM= \dfrac{AB}{4}= \dfrac{2AP}{4}= \dfrac{AP}{2}$
$\to M $ là trung điểm AP
+ $\Delta APC$ có M và N lần lượt là trung điểm AP và AC nên $NM // PC$ (đường trung bình của $\Delta$) (đpcm)
b, + $\Delta ABC$ có P và Q là trung điểm AB và BC nên $PQ // AC;\ PQ = \dfrac{AC}{2}= AN=NC$ (đường TB của $\Delta$)
+ Xét $\Delta CNI$ và $\Delta PQI$ ta có
$PQ=NC$ (Cm trên)
$\widehat{P_1} = \widehat{C_1}$ (so le trong do PQ // AC)
$\widehat{N_1} = \widehat{PQI}$ (so le trong do PQ // AC)
$\to \Delta CNI= \Delta PQI$ (gcg)
$\to IN= IQ$ (2 cạnh tương ứng)
$\to I$ là trung điểm NQ (đpcm)
c, + $\Delta ABC$ có P và N là trung điểm AB và AC nên $NP // BC;\ NP = \dfrac{BC}{2}= CD$ (đường TB của $\Delta$)
+ Xét $\Delta DNC$ và $\Delta PCN$ ta có
$PN= DC$ (Cm trên)
$\widehat{PNC} = \widehat{C_2}$ (so le trong do NP // BC)
NC chung
$\to \Delta DNC= \Delta PCN$ (cgc)
$\to \widehat{C_1} = \widehat{N_2}$ (2 góc tương ứng)
$\to ND // PC$ (cặp góc so le trong bằng nhau)
Mà $MN // PC$ (phần a)
Nên NM và ND trùng nhau
$\to $ 3 điểm M;N; D thẳng hàng (đpcm)
Nếu không được sử dụng t.c của đường trung bình trong $\Delta$ thì có thể Cm thêm bài toán phụ:
Cho $ \triangle ABC; \ D; \ E$ lần lượt là trung điểm AB và AC. CMR: $ DE // BC; DE= \frac{BC}{2}$ Thật vậy:
+Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho $EM=ED=\frac{DM}{2}$
+ Xét $\triangle AED $ và $\triangle CEM $ ta có
$AE=EC$ (gt)
$ \widehat{E_1}= \widehat{E_2}$ (đối đỉnh)
$ED=DM$
$ \Longrightarrow \triangle AED= \triangle CEM $ (cgc)
$ \Longrightarrow \widehat{C_1}= \widehat{A}$ (2 góc tương ứng)
$ \Longrightarrow AB//CM$ (có cặp góc so le trong bằng nhau)
+ Ta có: CM=AD ($ \triangle AED= \triangle CEM $ ). Mà AD=DB (gt) $ \Longrightarrow CM=BD$
+ Xét $\triangle BDM $ và $\triangle MCB $ ta có
$\widehat{B_1}= \widehat{M_2}$ (Do AB//CM)
$CM=BD$ (CM trên)
BM chung
$ \Longrightarrow \triangle BDM= \triangle MCB $ (cgc)
$\Longrightarrow \widehat{B_2}= \widehat{M_1}$
$ \Longrightarrow DE//CB$ (có cặp góc so le trong bằng nhau)
+ ta có $DM=BC \ (\triangle BDM= \triangle MCB )$. Mà $ED=\frac{DM}{2} \Longrightarrow DE=\frac{BC}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
)