HÌnh 7 khó cực kì đây đố ai giải được

[hanh99a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có góc A tù. Dựng ngoài tam giác các tam giác vuông cân:ABE,ACG cân tại A. từ G kẻ Gx song song với AE;từ E kẻ Ey song song với AG. Gx cắt Ey tại I.CM:
1. AI vông góc với BC
2.Gọi O là trung điểm của CG, tam giác IOB là tam giác gì, vì sao?
3.Cm: diện tích hình vuông có cạnh là AB+diện tích hình vuông có cạnh là AC< diện tích hình vuông có cạnh là BC

 

[harrypham]

SOLUTION:

a) Ta có $EI//AG, EA//IG$, dễ chứng minh $\triangle IEA = \triangle AGI$ (g.c.g)
$\implies EA=IG, EI=AG, \widehat{IAG} = \widehat{AIE}$.

Lại có $EA=AB, GA=AC$.
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle EAI$ có
+ $AB=IG$ (cùng bằng $AE$)
+ $AC=EI$ (cùng bằng $AG$)
+ $\widehat{ABC}=360^o- \widehat{EAB}- \widehat{GAC}- \widehat{IAG}- \widehat{IAE}=360^o-180^o- \widehat{IAG}- \widehat{IAE}= 180^o- \widehat{AIE}- \widehat{IAE}= \widehat{IEA}$

Do đó $\triangle ABC = \triangle EAI $ (c.g.c)
$\implies \widehat{ABC}= \widehat{EAI}$ mà $\widehat{BAH}+ \widehat{EAI}=90^o$ nên $\widehat{ABC}+ \widehat{BAH}=90^o \implies \widehat{AHB}=90^o$ hay $\boxed{ AI \perp BC}$.

b) Xét $\triangle ABO$ và $\triangle GIO$ có
+ $AB=IG$
+ $GO=AO$ (do $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $GAC$)
+ $\widehat{BAO} = \widehat{ABC}+ \widehat{OAC}= \widehat{ABC}+45^o = \widehat{IGA}+45^o = \widehat{IGA}+ \widehat{AGO} = \widehat{IGO}$

Do đó $\triangle ABO = \triangle GIO$ (c.g.c) nên $OI=OB$ và $\widehat{AOB}= \widehat{GOI}$.
Mà $\widehat{GOI}= \widehat{IOA}=90^o \implies \widehat{AOB} + \widehat{IOA}=90^o$ hay $\widehat{IOB}=90^o$.
Vậy $\triangle IOB$ vuông cân ở $O$.


c)

 

[harrypham]

Chém nốt câu $c$ nhé!
Thực chất là dạng của Pitago của một tam giác vuông $ABC$ vuông ở $A$ thì $AB^2+AC^2=BC^2$. Câu hỏi đặt ra nếu góc $A$ tù thì sao ? Đó là lời giải cho bài toán câu c này.

Kẻ $BK \perp AC$.
Ta có $BC^2= BK^2+KC^2=BK^2+(AK+AC)^2=BK^2+AK^2+ AC^2+2.AC.AK=AB^2+AC^2+2AC.AK >AB^2+AC^2.$ $\square$