[Hình 7] CMR: trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC, mỗi đoạn thẳng không lớn hơn tổng của 2 đoạn thẳng

M

manhngughe

Last edited by a moderator:
T

thinhrost1



$M \in$ nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B.

rreweb


-Kẻ tia $Cx$ sao cho tia $Cx$ tạo với đoạn $BC$ một góc bằng góc $\widehat{ACM}$.

-Trên $Cx$ lấy $E$ sao cho $CE=CM(1)$, ta được hình trên

Dễ dàng CM: $BM+MC>MA$, $BM+MA>MC$ (Bạn nào muốn CM thì áp dụng tính chất cạnh và góc trong một tam giác)

Bây giờ ta sẽ chứng minh $MA+MC \geq MB$

$CM: \Delta BEC=\Delta AMC(c.g.c)$

$\Rightarrow BE=AM(2)$

Ta có:

$\widehat{BCE}=\widehat{MCA}(\Delta BEC=\Delta AMC)$(3)

Mà: $\widehat{BCE}+\widehat{ACE}=60^o$(4)

Từ (1), (3), (4):

$\Rightarrow \Delta{ECM}$ đều

$ \Leftrightarrow MC=ME(5)$

Theo bất đẳng thức trong một tam giác, ta có:

$BE+ME>BM$(6)

Từ (2), (5), (6):

$ \Rightarrow MA+MC \geq MB$

Dấu '=' xảy ra khi;

$MA=MC$
 
T

thinhrost1

$TH: M \in$ mặt phẳng bờ $AC$ chứa $B$

rrzccm

Vẽ tia $Bx$ sao cho $\widehat{xBC}=\widehat{ABM}$

Trên $Bx$ lấy E sao cho $BE=BM(1)$

$CM: \Delta ABM= \Delta BEC(c.g.c)$

$ \Rightarrow \widehat{ABM}= \widehat{EBC}$

$ \Rightarrow MA=EC$(2)

CM tương tự câu trên, ta chứng minh được $\Delta BME$ là tam giác đều.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác $MEC$, ta có:

$MC+ME>EC$(3)

$MC+EC>ME$(4)

$ME+EC>MC$(5)

Từ $(1), (2), (3), (4), (5):$

$\Rightarrow đpcm$
 
T

thinhrost1

$TH: M \in BC$

rrzcmp


Ta có: $\widehat{AMC}=\widehat{MAB}+\widehat{MBA}$ (góc ngoài tại $A$ của $ \Delta MAB$)

Nên: $\widehat{AMC}>\widehat{B}$

Mà: $\widehat{B}=\widehat{C}$

Nên: $\widehat{AMC}>\widehat{C}$

Trong tam giác $AMC$ có:

$\widehat{AMC}>\widehat{C}$

$ \Leftrightarrow AC>AM$

Mà: $BC=AC=MA+MB$

Vậy: $MA+MB \geq MC$

Dấu "=" xảy ra khi: $M$ trùng với $B$ hoặc $C$

Còn trường hợp khác thì đơn giản hơn

Kẻ $AK \perp BC$

Ta luôn có: $AM>BM$, $AM>CM$

Nên: $AM+BM>CM$

$AM+CM>BM$
 
0

0973573959thuy

Mình nghĩ nếu xét 3 trường hợp như vậy chưa đầy đủ.
Mình làm như thế này, bạn xem có được không nha! :D
Nếu mình làm sai thì thông cảm nhé! :)

Bài này mình vận dụng cách chứng minh phản chứng.

Đề bài yêu cầu chứng minh :
• MA \leq MB + MC
• MB \leq MA + MC
• MC \leq MA + MB
Như vậy ta sẽ chứng mình điều ngược lại là sai và khẳng định điều cần chứng minh là đúng.

Bài giải:
Giả sử :
MA > MB + MC
MB > MA + MC
MC > MA + MB
Cộng từng vế ta được :
MA + MB + MC > 2(MB + MC + MA)
Điều này là vô lí \Rightarrow điều giả sử là sai. Vậy trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC, mỗi đoạn thẳng không lớn hơn tổng của 2 đoạn thẳng kia.

 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom