[Hình 7] CM: 3 đường đồng quy

[vietduong2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC. Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối của FB lấy
điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của EC lấy điểm Q sao cho QE=CE.
a) Chứng minh:AP=AQ
b)Chứng minh P,A,Q thẳng hàng
c)Chứng minh BQ//AC và CP//AC
d) GỌI R là giao điểm của PC VÀ QB. Chứng minh chu vi tam giác PQR = 2 lần chu vi tam giác ABC
e) Ba đường thẳng AR,BP,CQ đồng quy

 

[thaolovely1412]

a) Xét tam giác AFP và tam giác CFB có:
AF=FC ( F là trung điểm AC)
góc AFP= góc CFB (2 góc đối đỉnh)
FP=BF( gt)
=> tam giác AFP = tam giác CFB(cgc)
=>AP=BC( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét tam giác AEQ và tam giác BEC có:
AE=BE ( E là trung điểm AB)
góc AEQ= góc BEC (2 góc đối đỉnh)
QE=CE( gt)
=> tam giác AEQ = tam giác BEC (cgc)
=>AQ=BC( 2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2)=> AP=AQ (=BC)
b)Ta có:
tam giác AFP = tam giác CFB =>góc PAF=góc FCB( 2 góc tương ứng)
tam giác AEQ = tam giác BEC => góc QAE=góc CBE( 2 góc tương ứng)
=> góc QAE+góc PAF+ góc BAC=góc FCB+góc CBE+ góc BAC
mà góc FCB+góc CBE+ góc BAC=180 độ (định lý tổng 3 góc trong tam giác)
=>góc QAE+góc PAF+ góc BAC=180 độ
hay góc QAP= 180 độ
=>Q,A,P thẳng hàng
c)Xét tam giác AEC và tam giác BEQ có:
AE=BE ( E là trung điểm AB)
góc AEC= góc BEQ( 2 góc đối đỉnh)
CE=QE(gt)
=>tam giác AEC = tam giác BEQ (cgc)
=>góc ACE=góc BQE( 2 góc tương ứng)
mà góc ACE và góc BQE nằm ở vị trí so le trong đối với Ac và BQ bị CQ cắt
=> BQ//AC
Xét tam giác CFP và tam giác AFB có:
AF=FC ( F là trung điểm AC)
góc CFP = góc AFB ( 2 góc đối đỉnh)
FP=FB (gt)
=>tam giác CFP = tam giác AFB (cgc)
=>góc CPF =góc ABF ( 2 góc tương ứng)
mà góc CPF và góc ABF nằm ở vị trí so le trong đối với AB và CP bị BP cắt
=> AB//CP
d)

 

[vietduong2000]

cảm ơn bạn về các câu trước nhé. nhưng bạn có thể giúp mình các câu còn lại đc không?

 

[thaolovely1412]

d)Vì E,F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC nên CE và BF là các đường trung tuyến của tam giác ABC
mặt khác CE cắt BF tại 1 điểm, gọi giao điểm đó là I
=>I là trọng tâm của tam giác ABC
=> AI là trung tuyến của tam giác ABC
gọi giao điểm của AI với BC là O => o là trung điểm của BC
Vì AC//BQ(cmt) => AC//BR
=>góc ACO= góc RBO ( 2 góc so le trong)
Xét tam giác AOC và tam giác ROB có:
OC=OB(O là trung điểm của BC)
góc AOC= góc ROB (đối đỉnh)
góc ACO= góc RBO(cmt)
=>tam giác AOC = tam giác ROB(gcg)
=> BR=AC ( 2cạnh tương ứng)
mà tam giác AEC = tam giác BEQ(cmt)=> AC=BQ(2 cạnh tương ứng)
=>BR=BQ(=AC)
Ta có:tam giác CFP = tam giác AFB(cmt) =>CP=AB(2cạnh tương ứng)
Xét tam giác AOB và tam giác ROC có:
OC=OB(O là trung điểm của BC)
góc AOB=góc ROC (đối đỉnh)
OA=OR(tam giác AOC = tam giác ROB)
=> tam giác AOB = tam giác ROC (cgc)
=>AB=RC(2 cạnh tương ứng)
=>CP=RC(=AB)
Vì BR=BQ(cmt) nên B là trung điểm QR =>QR=2BQ=2AC (theo cmt, AC=BQ)
Vì AQ=AP(cmt) nên A là trung điểm QP=> QP=2AQ=2BC( theo cmt, AQ=BC)
Vì CP=RC(cmt) nên C là trung điểm RP=>RP=2CP =2AB(theo cmt, CP=AB)

P PQR=QR+QP+RP= 2AC+2BC+2AB=2(AC+BC+AB)=PABC