[ Hình 7] Chứng minh trung điểm

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác $BAC$ nhọn. Ngoài tam giác $ABC$ vẽ tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$ và $ACN$ vuông cân tại $A$.
a) C/m $BN=CM$
b) $BN \perp CM$
c) Đường cao của tam giác $AMN$ của cạnh $MN$ cắt $BC$ tại $K$ . C/m $K$ là trung điểm của $BC$.

 

[nhuquynhdat]

a) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta AMC$ có:

$AB=AM; AN=AC$

$\widehat{BAN}=\widehat{BAC}+\widehat{CAN}= \widehat{BAC}+90^o$

$\widehat{CAM}=\widehat{BAC}+\widehat{BAM}= \widehat{BAC}+90^o$

$\to \widehat{BAN}=\widehat{CAM}$

$\to \Delta ABN=\Delta AMC (c-g-c) \to BN=CM$

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của CM với AB và BN

$ \Delta ABN=\Delta AMC \to \widehat{AMC}=\widehat{ABN}$

mà $\widehat{AEM}=\widehat{BEF}$ (đối đỉnh)

$\to \widehat{AMC}+\widehat{AEM}=\widehat{BEF}+\widehat{ABN}=90^o$

$\to \widehat{BFE}=90^o \to BN \perp CM$

c) Kẻ $BD \perp AM; CG \perp AM$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta MAK$ có;

$AB=AM$

$\widehat{AKM}=\widehat{BDA}=90^o$

$\widehat{BAD}=\widehat{AMK}$ (cùng phụ $\widehat{MAK}$)

$\to \Delta ABD= \Delta MAK (Ch-Gn) \to BD=AK$

Tương tự CM: $\Delta ANK=\Delta CAG (Ch-Gn) \to CG=AK$

$\to CG=BD$

Sau đó CM: $\Delta BMD=\Delta CMG (g-c-g) \to BM=CM \to M$ là trung điểm của BC

 

[duc_2605]

Cho tam giác $BAC$ nhọn. Ngoài tam giác $ABC$ vẽ tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$ và $ACN$ vuông cân tại $A$.
a) C/m $BN=CM$
b) $BN \perp CM$
c) Đường cao của tam giác $AMN$ của cạnh $MN$ cắt $BC$ tại $K$ . C/m $K$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh $\Delta{AMC} = \Delta{ABN}$ (c.g.c):
AM = AB (gt)
$\widehat{MAC} = \widehat{BAN} (= 90^0 + \widehat{BAC})$
AC = AN (gt)
\Rightarrow CM = BN (tg ứg)
b)
Do $\Delta{AMC} = \Delta{ABN}$ \Rightarrow $\widehat{AMC} = \widehat{ABN}$
Gọi giao điểm của MC và AB là D. MC và BN là E
$\Delta{BED} và \Delta{MDA}$ có:
$\widehat{MDA} = \widehat{BDE} (đ^2)$
$\widehat{AMC} = \widehat{ABN}$ (cmt)
\Rightarrow $\widehat{MAD} = \widehat{BED}$ (tổng 3 góc trong tam giác)
\Rightarrow đpcm