!!!
Bài 1: Chứng minh:
Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A \Leftrightarrow [TEX]\hat{B} = \hat{C}[/TEX]
Mà BE là tia phân giác [TEX]\hat{B}[/TEX] \Rightarrow [TEX]\widehat{ABE}[/TEX] = [TEX]\hat{B}[/TEX]/2
CD là tia phân giác [TEX]\hat{C}[/TEX] \Rightarrow [TEX]\widehat{ACD}[/TEX] =[TEX]\hat{C}[/TEX]/2
\Rightarrow [TEX]\widehat{ABE} =\widehat{ACD}[/TEX]
Xét 2 tam giác ABE và ACD có:
[TEX]\widehat{BAE} =\widehat{CAD} =90^o[/TEX]
AB = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A)
[TEX]\widehat{ABE} =\widehat{ACD}][/TEX] (ch/minh trên)
\Rightarrow Tam giác ABE = Tam giác ACD (g.c.g) \Rightarrow AE = AD (2 cạnh tương ứng) (*)
Mà D thuộc AB và E thuộc AC nên [TEX]\widehat{BAC} =\widehat{DAE} =90^o[/TEX] (**)
Từ (*) và (**) suy ra: Tam gáic DAE vuông cân tại A \Leftrightarrow [TEX]\widehat{ADE} =45^o[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\widehat{ADE} =\widehat{ABC} =45^o[/TEX] \Rightarrow DE song song với BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
\Rightarrow [TEX]\widehat{EDK} =\widehat{BKD}[/TEX] (2 góc so le trong)
Gọi I là giao điểm của DK và BE, ta có:
Xét 2 tam giác BDI và tam giác BKI có:
[TEX]\widehat{BID} =\widehat{BIK} =90^o[/TEX]
BI chung
[TEX]\widehat{DBI} =\widehat{KBI}[/TEX] (do I thuộc BE là tia phân giác góc B)
\Rightarrow Tam giác BDI = Tam giác BKI (g.c.g) \Rightarrow DI = IK (2 cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác DIE và tam giác KIB có
[TEX]\widehat{EDI} =\widehat{BKI}[/TEX] (ch/minh trên)
DI = IK (chứng minh trên)
[TEX]\widehat{DIE} =\widehat{BIK} =90^o[/TEX]
\Rightarrow Tam gáic DIE = Tam giác KIB (g.c.g) \Rightarrow IE = BI (2 cạnh tương ứng)
Xét 2 tam giác BID và tam giác EIK có
BI = IE (chứng minh trên)
[TEX]\widehat{BID} =\widehat{EIK} =90^o[/TEX]
DI = IK (chứng minh trên)
\Rightarrow Tam giác BID = Tam giác EIK (c.g.c) \Rightarrow [TEX]\widehat{BDI} =\widehat{EKI}[/TEX] (2 góc tương ứng)
\Rightarrow EK song song với BD hay BA (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
\Rightarrow [TEX]\widehat{BAC} =\widehat{KEC} =90^o[/TEX] (cặp góc đồng vị) và [TEX]\widehat{ABC} =\widehat{EKC}[/TEX] (cặp góc đồng vị)
Lại có: [TEX]\widehat{ABC} =\widehat{ACB}[/TEX] (chứng minh trên) \Rightarrow [TEX]\widehat{EKC} =\widehat{KCE}[/TEX]
Do đó, tam giác EKC là tam giác vuông cân tại E \Rightarrow EK = EC
Mặt khác: Gọi O là giao điểm của BE và AH
Xét 2 tam giác BAO và tam giác BHO có:
[TEX]\widehat{BOA} =\widehat{BOH} =90^o[/TEX]
BO chung
[TEX]\widehat{ABO} =\widehat{HBO}[/TEX] (vì O thuộc BE là tia phân giác góc B)
\Rightarrow Tam giác BAO = Tam giác BHO (g.c.g) \Rightarrow BA = BH (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác ABE và tam giác HBE có:
BE chung
[TEX]\widehat{ABE} =\widehat{HBE}[/TEX] (vì BE là tia phân giác góc B)
BA = BE (chứng minh trên)
\Rightarrow Tam giác ABE = Tam giác HBE (c.g.c) \Rightarrow [TEX]\widehat{BAE} =\widehat{BHE} =90^o[/TEX]
\Rightarrow EH vuông góc với BC tại H
Xét tam giác KEH và tam giác CEH có:
[TEX]\widehat{EHK} =\widehat{EHC} =90^o[/TEX] (vì EH vuông góc với BC)
EK = EC (chứng minh trên)
EH chung
\Rightarrow Tam giác KEH = Tam giác CEH (cạnh huyền-góc nhọn)
\Rightarrow KH = HC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
