[HELP] Tích phân.

[yuxing1212]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$\int_{2}^{3} \frac{dx}{(1+x)^3}.\ln\frac{x-1}{x+1}$

 

[linkinpark_lp]

Bài này bạn có thể làm như sau, mình chỉ tính nguyên hàm bạn tự đổi và thay cận:

$
\ I = \int\limits_2^3 {\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \ $
Đặt:
$
\ \left\{ \begin{array}{l}
\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) = u\\
\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = dv
\end{array} \right.\ $ \Rightarrow $ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx = du\\
\frac{{ - 1}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = v
\end{array} \right.\ $
Lúc đó:
$
\ I = \frac{{ - \ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}} + C\ $
Xét:
$
\ J = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}} \ $
Đặt:
$
\ x + 1 = u\ $ \Rightarrow $
\ dx = du\ $
Đổi cận:....
Lúc đó:
$
\ J = \int {\frac{{du}}{{{u^3}\left( {u - 2} \right)}}} = \frac{{ - 1}}{8}\int {\frac{{{u^2} + 2u + 4}}{{{u^3}}}} du - \frac{1}{8}\int {\frac{{du}}{{u - 2}}} \ $

 

[yuxing1212]

Bài này bạn có thể làm như sau, mình chỉ tính nguyên hàm bạn tự đổi và thay cận:

$
\ I = \int\limits_2^3 {\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \ $
Đặt:
$
\ \left\{ \begin{array}{l}
\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) = u\\
\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = dv
\end{array} \right.\ $ \Rightarrow $ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx = du\\
\frac{{ - 1}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = v
\end{array} \right.\ $
Lúc đó:
$
\ I = \frac{{ - \ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)}}{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}} + C\ $
Xét:
$
\ J = \int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}} \ $
Đặt:
$
\ x + 1 = u\ $ \Rightarrow $
\ dx = du\ $
Đổi cận:....
Lúc đó:
$
\ J = \int {\frac{{du}}{{{u^3}\left( {u - 2} \right)}}} = \frac{{ - 1}}{8}\int {\frac{{{u^2} + 2u + 4}}{{{u^3}}}} du - \frac{1}{8}\int {\frac{{du}}{{u - 2}}} \ $

Bạn có thể chỉ cho mình phương pháp để tách $\frac{1}{u^3.(u-2)}$ ra như thế kia được không?
Lúc đầu mình chỉ biết làm đến đấy (

 

[linkinpark_lp]

Bạn có thể chỉ cho mình phương pháp để tách $\frac{1}{u^3.(u-2)}$ ra như thế kia được không?
Lúc đầu mình chỉ biết làm đến đấy (

Chỗ đấy là mình dùng phương pháp hệ số bất định để tách ra. ví dụ như ở câu trên $\frac{1}{u^3.(u-2)}$ mình giả sử nó tách được thành:
$
\ \frac{1}{{{u^3}.(u - 2)}} = \frac{{a{u^2} + bu + c}}{{{u^3}}} + \frac{d}{{u - 2}}\ $
Lúc đó ta biến đổi VP thành: $
\ \frac{{a{u^3} - 2a{u^2} + b{u^2} - 2bu + cu - 2c + d{u^3}}}{{{u^3}.(u - 2)}}\ $
Lúc này ta đồng nhất hệ số ở tử số của 2 vế thì được hệ:
$
\ \left\{ \begin{array}{l}
a + d = 0\\
- 2a + b = 0\\
- 2b + c = 0\\
- 2c = 1
\end{array} \right.\ $
giải hệ này sẽ ra được các hệ số a, b, c, d như mình ở trên. Thật ra bạn có thể dùng hệ số bất định này với ngay biểu thức trước phần đổi biến nhưng mình làm thêm bước đổi biến nữa cho biểu thức dễ tính hơn