Help me, cần gấp!

[bachocanhxtanh_450]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người ơi, giúp tớ bài này, tớ đang cần gấp:
Cho 3 số dương a,b,c. C/M:
[TEX]\frac{x}{x+2y+3z} + \frac{y}{y+2z+3x} + \frac{z}{z+2x+3y} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
>->->-

 

[vodichhocmai]

Mọi người ơi, giúp tớ bài này, tớ đang cần gấp:
Cho 3 số dương a,b,c. C/M:
[TEX]\frac{x}{x+2y+3z} + \frac{y}{y+2z+3x} + \frac{z}{z+2x+3y} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
>->->-

[TEX]LHS\ge \frac{ (x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+5(xy+yz+zx) [/TEX]

Vậy ta cần chứng minh

[TEX] 2 (x+y+z)^2\ge x^2+y^2+z^2+5(xy+yz+zx)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum_{cyclic} (x-y)^2\ge 0[/TEX]

bất đẳng thức cuối luôn đúng . Vậy bài toán chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra tại tâm

 

[linh954]

Mọi người ơi, giúp tớ bài này, tớ đang cần gấp:
Cho 3 số dương a,b,c. C/M:
[TEX]\frac{x}{x+2y+3z} + \frac{y}{y+2z+3x} + \frac{z}{z+2x+3y} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
>->->-

Những dạng có bậc tử = bậc mẫu kiểu này có phương pháp giải tổng quát nè
đặt x+2y+3z=a
y+2z+3x=b
z+2x+3y=c
\Rightarrow[TEX]z=\frac{b+7a-5c}{18}[/TEX]
Tương tự [TEX]x=\frac{c+7b-5a}{18}[/TEX]
[TEX] y=\frac{a+7c-5b}{18}[/TEX]
thay vào VT của BĐT
[TEX]\frac{c+7b-5a}{18a}+\frac{a+7c-5b}{18b}+\frac{b+7a-5c}{18c}=\frac{1}{18}(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+\frac{7}{18}(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})-\frac{5}{18}(\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})[/TEX]
rùi áp dụng côsi cho [TEX]\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]VT\geq\frac{1}{2}[/TEX]

 

[bachocanhxtanh_450]

Cảm ơn các bạn, mình thấy cách giải của linh hay nhưng biến đổi hơi phức tạp, còn cách như trên kia thì gọn hơn, sử dụng Côsi-swat, hoặc Bunhiacốpxki đều có thể chứng minh được!