Hjx bài này khó ở cái chổ tính được cái tổng [TEX]1^2 + 2^2 + 3^3 + .... n^2[/TEX]
Theo như kinh nghiệm, gặp nhiều bài, mình chỉ nhớ là cái tổng đó bằng thế này chứng minh thì được nhưng làm cách nào để tìm thì chịu, chỉ có thể gọi là mò thôi hahahahaha
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^3 + .... n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
Có được cái đó là dễ rồi
Vì cái tổng đó không chia hết cho 5 nên[TEX] n, n+1, 2n+1[/TEX] đều không chia hết cho 5
Đặt [TEX]n = 5k + r[/TEX] Với [TEX]1 \leq r \leq 4[/TEX]
[TEX] n + 1 = 5k + r + 1[/TEX] không chia hết cho 5 [TEX]\Rightarrow [/TEX]r # 4
[TEX]2n + 1 = 10k + 2r + 1[/TEX] không chia hết cho 5 [TEX]\Rightarrow[/TEX] r # 2
Vậy [TEX] r = {1 ; 3}[/TEX]
Vậy với mọi n chia cho 5 dư 1 hoặc dư 3 thì tổng [TEX]1^2 + 2^2 + ...+ n^2[/TEX] không chia hết cho 5
Ta có:[TEX] 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
Xét n chia 5 dư 1 [TEX]\Rightarrow n = 5k + 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(5k + 1)(5k + 2)}{2} = \frac{25k^2 + 15k + 2}{2} = \frac{5k(5k+3)}{2} + 1[/TEX] chia 5 dư 1 [TEX](k(5k+3) = 5k(k+1) - 2k[/TEX] luôn chia hết cho 2 )
Xét n chia 5 dư 3 [TEX] \Rightarrow n = 5k + 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(5k + 3)(5k + 4)}{2} = \frac{25k^2 + 35k + 12}{2} = \frac{5k(k + 7}{2} + 6 [/TEX] chia 5 dư 1 ([TEX]k(5k+7) = 7k(k+1) + 2k[/TEX] luôn chia hết cho 2 )
Vậy [TEX]1 + 2 + 3 + .... + n[/TEX] chia 5 dư 1
Nhớ thanks đó nha. Ak mà cái tổng trên đó chỉ có thể chứng minh bằng quy nạp toán học thôi, ngoài ra mình không biết cách nào khác để chứng minh cả, bạn tự chứng minh lấy xem như một bài toán mới nha hihi
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
