[HELP] Đề thi toán học kì I trường Ams

[pmt94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là các số thực không âm, đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:
ab + bc + ca = 4. CMR:
[TEX]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \geq 1[/TEX]

Ai giải giúp mình với

 

[girl194]

a, b, c có vai trò bình đẳng ------> đẳng thức sảy ra khi a= b = c khi đó VT ko xác định
Liệu có phải đề bị nhầm không bạn xem lại xem đau tiên nhìn vào thay thế nên ko CM nua

 

[bigbang195]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(x-z)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(x-z)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

 

[pmt94]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

bạn ơi giảng cho mình với mình ko hiểu
@girl194: đề bài có cho là đôi một khác nhau mà bạn ko đọc kĩ ak

 

[pmt94]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

bạn ơi giảng cho mình với mình ko hiểu
@girl194: đề bài có cho là đôi một khác nhau mà bạn ko đọc kĩ ak
@Mod: xoá hộ em bài này em post nhầm 2 lần (

 

[lamtrang0708]

bài này nếu xảy ra dấu bằng ở o.5 thì sao mình nghĩ đề bài bị nhầm đấy

 

[lamtrang0708]

bài này mình nghĩ đề bài bị nhầm rùi bạn ak xem lại nhé

 

[bigbang195]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

Đề bài này đúng 100% nó là VietNam National Olympiad 2008
và cách giải này đc CM đầu tiên của tác giả Võ Thanh Vân

 

[pmt94]

bigbang ơi cho mình hỏi chút xíu nhé, mình có đôi chỗ ko hiểu

z=min(x,y,z) có nghĩa là giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x,y,z đúng ko?

[tex]\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/tex]

CM cái này kiểu j` , có cần điều kiện j` ko?

Và dấu "=" xảy ra khi nào?

 

[messino1]

Mong các bạn giúp mình
cho a,b,c>0 và ab+bc+ac=3

CMR [tex] \frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2} \leq 1 [/tex]

 

[bigbang195]

Quy đồng ta cần CM
[TEX]\sum (a^2+2)(b^2+2) \ge (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)[/TEX]
hay
[TEX]\sum a^2b^2 + 4\sum a^2 +12 \ge a^2b^2c^2+4\sum a^2+2\sum a^2b^2+8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2b^2c^2+\sum a^2b^2 \ge 4[/TEX]
đặt [TEX]b^2a^2=x , c^2b^2=y , a^2c^2=z[/TEX]
ta sẽ CM [TEX]x^2+y^2+z^2+xyz \ge 4[/TEX] với[TEX] a+b+c=3[/TEX](giả thiết).
Ta có
[TEX]x^2+y^2+z^2+xyz =(x+y)^2 +z^2 +xy(z-2) \ge_{z=min{{(x,y,z)}}-->z < 2}[/TEX]
[TEX](3-z)^2+z^2+\frac{(x+y)^2}{4}(z-2) =(3-z)^2+z^2+\frac{(3-z)^2}{4}(z-2) \ge 4 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(3-z)^2+z^2+\frac{(3-z)^2}{4}(z-2)-4 \ge 0 [/TEX](Đúng)

 

[pntnt]

bigbang ơi cho mình hỏi chút xíu nhé, mình có đôi chỗ ko hiểu

z=min(x,y,z) có nghĩa là giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x,y,z đúng ko?
[tex]\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/tex]

CM cái này kiểu j` , có cần điều kiện j` ko?

Và dấu "=" xảy ra khi nào?

tui cũng ngi ngờ chỗ này vì nếu giả thiết z min thì z-x <0 mà xy+yz+xz =4 hẳn hòi
zậy mà sao lại [tex]\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/tex] ???!!!
b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(b-(

 

[bigbang195]

Cho a, b, c là các số thực không âm, đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:
ab + bc + ca = 4. CMR:
[TEX]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \geq 1[/TEX]

Ai giải giúp mình với

do các số của bạn là số thưc dương nên
[TEX]xy+yz+xz \ge (y-z)(z-x)[/TEX]
hay [TEX]xy+yz+xz-(yz+xz-xy-z^2)=xy+z^2 \ge 0[/TEX]
Đúng !

 

[pntnt]

do các số của bạn là số thưc dương nên
[TEX]xy+yz+xz \ge (y-z)(z-x)[/TEX]
hay [TEX]xy+yz+xz-(yz+xz-xy-z^2)=xy+z^2 \ge 0[/TEX]
Đúng !

bạn cm cái này thì tui đồng ý.Tui lấy 1 vd nhỏ thế này:
[TEX]5+3 \ge 0[/TEX] (đúng)
\Leftrightarrow[TEX]5 \ge -3[/TEX] (vẫn đúng)
\Leftrightarrow [TEX]\frac{4}{5} \le -\frac{4}{3}[/TEX] ???

vấn đề tui mún hỏi là liệu
[TEX]xy+yz+xz \ge (y-z)(z-x)[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]\frac{4}{(y-z)(z-x)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz }[/TEX]
đúng hay sai ??
Khi nó đúng hoặc sai thì dấu bằng sẽ "đi về đâu" ??

 

[bigbang195]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(x-z)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(x-z)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

Em đánh nhầm (x-z)(y-z) ko phải (y-z)(z-x) !

 

[pmt94]

vậy thì phải như này chứ:
[TEX]xy+yz+zx \geq (x-z)(y-z)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xy+yz+xz-(xy-xz-yz+z^2) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2xz+2yz-z^2 \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow z(2x+2y-z) \geq 0[/TEX]
Do x,y,z là các số thực không âm và z là số nhỏ nhất nên bất đẳng thức luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]z=0[/TEX], [TEX]x=\sqrt{5}+1[/TEX], [TEX]y=\sqrt{5}-1[/TEX] hoặc [TEX]x=\sqrt{5}-1[/TEX] và [TEX]y=\sqrt{5}+1[/TEX] (do vai trò của x và y là tương đương nhau)