Cho phương trình : [tex]x^{2}- 2(m + 1)x + m^{2}+ m - 6 = 0[/tex]
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn [tex]|{x_{1}}^{3}- {x_{2}}^{3}|=50[/tex]
\[\begin{align}
& \Delta '={{(m+1)}^{2}}-({{m}^{2}}+m-6) \\
& ={{m}^{2}}+2m+1-{{m}^{2}}-m+6 \\
& =m+7 \\
\end{align}\]
Pt có 2 ngiệm khi \[\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m+7\ge 0\Leftrightarrow m\ge -7\]
Khi đó áp dụng hệ thức Viet có
\[\begin{align}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+1;{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}+m-6 \\
& |x_{1}^{3}-x_{2}^{3}|=50 \\
& {{(x_{1}^{3}-x_{2}^{3})}^{2}}=2500 \\
& {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}.{{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}=2500 \\
& \left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]{{\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}=2500 \\
& \left[ {{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}+m-6) \right]{{\left[ {{(2m+1)}^{2}}-({{m}^{2}}+m-6) \right]}^{2}}=2500 \\
& (4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-4m+24){{(4{{m}^{2}}+4m+1-{{m}^{2}}-m+6)}^{2}}=2500 \\
& 25(3{{m}^{2}}+3m+7)=2500 \\
& 3{{m}^{2}}+3m+7=100 \\
& 3{{m}^{2}}+3m-93=0 \\
& \Rightarrow m=\frac{-1\pm 5\sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\]
Giúp mình cả bài này với:
Cho a+b≥2. CMR: ít nhất 1 trong 2 phương trình sau có nghiệm: x² +2ax +b =0; x² +2bx +a =0?
\[\begin{align}
& {{x}^{2}}+2ax+b=0(1) \\
& {{x}^{2}}+2bx+a=0(2) \\
& {{\Delta }_{1}}={{a}^{2}}-b \\
& {{\Delta }_{2}}={{b}^{2}}-a \\
& 2{{\Delta }_{1}}+2{{\Delta }_{2}}=2{{a}^{2}}-2b+2{{b}^{2}}-2a \\
& ={{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \\
& \ge {{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}+\frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}-2\ge 0 \\
\end{align}\]
Suy ra [TEX]{{\Delta }_{1}}[/TEX],[TEX]{{\Delta }_{2}}[/TEX] có ít nhất 1 số lớn hơn hoặc bằng 0 suy ra đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
