Toán 9 Hệ thức lượng

[Nguyễn Hoàng Vân Anh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là hình chiếu của H trên AB, N là hình chiếu của H trên AC.
a) Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.
b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất, biết rằng BC = a không đổi ?

 

[hoangtuan9123]

Em tham khảo nhó

a)Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB và AHC ta có :

[TEX]AM . AB = AH^2[/TEX] ;

[TEX]AN.AC =AH^2 [/TEX]

Vậy AM.AB=AN.AC

b)Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất, biết rằng BC = a không đổi ?

Diện tích hình chữ nhật AMHN là:

[TEX]AM . AN =\frac{AH^2}{AB} . \frac{AH^2}{AC} = \frac{AH^4}{AB. AC} = \frac{AH^4}{BC.AH} = \frac{AH^3}{BC}[/TEX]

Lấy I là trung điểm của BC.Ta có :

[TEX]AH \leq AI = \frac{BC}{2}[/TEX]

Suy ra diện tích HCN AMHN [TEX]\leq \frac{( \frac{BC}{2} )^3}{BC} = \frac{a^2}{8}[/TEX]

Vậy để diện tích tứ giác AMHN lớn nhất thì I trùng H hay tam giác ABC là tam giác vuông cân.