Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác

[Kayaba Akihiko]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em câu 15 với ạ , em cảm ơn nhiều .

 

[7 1 2 5]

Ta thấy:
[tex]S=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}(a+b+c)r\Rightarrow 2Rr=\frac{abc}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{2Rr}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]

 

[Kayaba Akihiko]

Ta thấy:
[tex]S=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}(a+b+c)r\Rightarrow 2Rr=\frac{abc}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{2Rr}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]

vế này anh CM được rồi , vế còn lại thì làm như thế nào ?

 

[7 1 2 5]

Ta có: [tex]S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\Rightarrow r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}\Rightarrow \frac{1}{4r^2}=\frac{p}{4(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{p-a+p-b+p-c}{4(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4(p-a)(p-b)}+\frac{1}{4(p-b)(p-c)}+\frac{1}{4(p-c)(p-a)}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]4xy\leq (x+y)^2[/tex] ta có:
[tex]\frac{1}{4(p-a)(p-b)}+\frac{1}{4(p-b)(p-c)}+\frac{1}{4(p-c)(p-a)}\geq \frac{1}{(p-a+p-b)^2}+\frac{1}{(p-b+p-c)^2}+\frac{1}{(p-c+p-a)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow \frac{1}{4r^2}\geq \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]