Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F. C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]
2/ Tam giác ABC, AB=c, BC=a, AC=b
a. C/m công thức Hê rông [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ( p là nửa chu vi )
b. C/m [tex]a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}.S[/tex]
3/ Tam giác ABC. Từ 1 điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD vuông góc BC, ME vuông góc AC, MF vuông góc AB. C/m [tex]BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2[/tex]

 

[tranquanghuy21042004]

1/ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F. C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]
2/ Tam giác ABC, AB=c, BC=a, AC=b
a. C/m công thức Hê rông [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ( p là nửa chu vi )
b. C/m [tex]a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}.S[/tex]
3/ Tam giác ABC nhọn, đường cao CK, trực tâm H, M thuộc CK sao cho [tex]\widehat{AMB}=90^{\circ}[/tex]
C/m [tex]S_{AMB}=\sqrt{S_{ABC}.S_{ABH}}[/tex]

math error hết rồi bạn

 

[Akira Rin]

math error hết rồi bạn

nó khó quá, mình không tài nào làm được

 

[tranquanghuy21042004]

nó khó quá, mình không tài nào làm được

tag mấy mod toán vào( @Ann Lee , @Blue Plus, @chi254 ... ). bây h mk đag bận bạn nhé.

 

[Akira Rin]

@Tạ Đặng Vĩnh Phúc giúp mình với bạn ơi

 

[Tạ Đặng Vĩnh Phúc]

2)
a)
Chứng minh heron:

S = [tex]\frac{1}{2}bc.sinA[/tex]
mà cos A = [tex]\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex] và [tex]sin A = \sqrt {1-cos^2A}[/tex], từ đó bạn thay vào S là ổn
câu b thì nhớ là xuất hiện đâu đó trong IMO thì phải... để mình suy nghĩ đã

3)

Dễ thấy bài toán quy về chứng minh MK^2 = HK.CK
Chắc mình chỉ viết hướng dẫn bạn có thể trao đổi ở đây:
Dễ thấy MK^2 = KA.KB (hệ thức lượng tam giác vuông)
Còn lại chỉ cần chứng minh HK.CK = KA.KB là ổn
Chứng minh này chỉ cần xét: tam giác HAK đồng dạng tam giác BCK là được

 

[Akira Rin]

@iceghost bạn giúp mình với

 

[Ann Lee]

1/ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F. C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]

a) Bình phương các số đo đấy lên và thử dùng đến định lý Pythagores đảo đi xem nào.
b) Điểm E điểm F ở đâu vậy trời.
c)
d) Cuối cùng cũng thấy E và F :3

Nhờn vậy đủ rồi :3
Đề chính xác hơn đề của bạn:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F.
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. . C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]

a) Bình phương các số đo ấy lên, chú ý rằng $2bc=2ah$ nên ta được [tex]h^{2}+(b+c)^{2}=(a+h)^{2}[/tex]
=> Dùng định lý Pythagores đảo
b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật [tex]\Rightarrow AD=EF\Rightarrow AD^{2}=EF^{2}[/tex]
[tex]EA.EB+FA.FC=ED^{2}+DF^{2}=EF^{2}=AD^{2}=DB.DC(dpcm)[/tex]
c)
d) Ta có: [tex]AC^{2}.AB^{2}=AD^{2}.BC^{2}\Leftrightarrow \frac{AD^{2}}{AB}=\frac{AC^{2}.AB}{BC^{2}}\Leftrightarrow AE=\frac{b^{2}c}{AB^{2}+AC^{2}}=\frac{b^{2}c}{b^{2}+c^{2}}(dpcm)[/tex]
Cái còn lại làm tương tự...
e)[tex]\frac{c^{4}}{b^{4}}=\frac{AB^{4}}{AC^{4}}=\frac{BD^{2}.BC^{2}}{CD^{2}.BC^{2}}=\frac{BD^{2}}{CD^{2}}=\frac{BE.BA}{CF.CA}\Rightarrow \frac{c^{3}}{b^{3}}=\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}(dpcm)[/tex]

 

[Akira Rin]

a) Bình phương các số đo đấy lên và thử dùng đến định lý Pythagores đảo đi xem nào.
b) Điểm E điểm F ở đâu vậy trời.
c)
d) Cuối cùng cũng thấy E và F :3

Nhờn vậy đủ rồi :3
Đề chính xác hơn đề của bạn:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F.
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. . C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]
View attachment 61840
a) Bình phương các số đo ấy lên, chú ý rằng $2bc=2ah$ nên ta được [tex]h^{2}+(b+c)^{2}=(a+h)^{2}[/tex]
=> Dùng định lý Pythagores đảo
b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật [tex]\Rightarrow AD=EF\Rightarrow AD^{2}=EF^{2}[/tex]
[tex]EA.EB+FA.FC=ED^{2}+DF^{2}=EF^{2}=AD^{2}=DB.DC(dpcm)[/tex]
c)
d) Ta có: [tex]AC^{2}.AB^{2}=AD^{2}.BC^{2}\Leftrightarrow \frac{AD^{2}}{AB}=\frac{AC^{2}.AB}{BC^{2}}\Leftrightarrow AE=\frac{b^{2}c}{AB^{2}+AC^{2}}=\frac{b^{2}c}{b^{2}+c^{2}}(dpcm)[/tex]
Cái còn lại làm tương tự...
e)[tex]\frac{c^{4}}{b^{4}}=\frac{AB^{4}}{AC^{4}}=\frac{BD^{2}.BC^{2}}{CD^{2}.BC^{2}}=\frac{BD^{2}}{CD^{2}}=\frac{BE.BA}{CF.CA}\Rightarrow \frac{c^{3}}{b^{3}}=\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}(dpcm)[/tex]

bạn giúp mình câu 3 được k?

 

[Ann Lee]

bạn giúp mình câu 3 được k?

3/ Tam giác ABC. Từ 1 điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD vuông góc BC, ME vuông góc AC, MF vuông góc AB. C/m [tex]BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2[/tex]

Nối như trong hình
Theo định ly Pythagores ta có:
[tex]BD^{2}+CE^{2}+AF^{2}=(BM^{2}-MD^{2})+(CM^{2}-ME^{2})+(AM^{2}-MF^{2})[/tex]
[tex]DC^{2}+EA^{2}+FB^{2}=(MC^{2}-MD^{2})+(AM^{2}-ME^{2})+(BM^{2}-FM^{2})[/tex]
Suy ra đpcm

 

[Tạ Đặng Vĩnh Phúc]

1) c.

Sau đây xin giới thiệu dịch cân kinh:
Ở trên đã chứng minh EA.EB + FA.FC = DB.DC ổn
Như vậy: cần chứng minh E'A.E'B + F'A.F'C = D'B.D'C (*) với D khác D'
Giả sử dịch D một đoạn x được D' thì cần chứng minh:
Sử dụng talex trong tam giác BE'D' và tam giác DFC thì
[tex]\frac{BE}{BE'} = \frac{BD}{BD'} = \frac{BD}{BD+x} \Leftrightarrow BE' = \frac{BE}{BD}.(BD+x) => EE' = BE' - BE = \frac{BE}{BD}x[/tex]
[tex]\Rightarrow E'A = EA-\frac{BE}{BD}x[/tex]
[tex]\frac{CF'}{CF} = \frac{CD'}{CD} = \frac{CD-x}{CD} \Leftrightarrow CF' = \frac{CF}{CD}.(CD-x) =>FF' = CF-CF' = \frac{CF}{CD}x[/tex]
[tex]\Rightarrow AF' = AF+FF'=AF+\frac{CF}{CD}x[/tex]
Từ đó thay vào (*) kết hợp với EA.EB + FA.FC = DB.DC có thể sẽ chứng minh được vì có hy vọng triệt tiêu hết x

 

[iceghost]

1c.

Giả sử $D$ chạy lung tung trên $BC$. Do $\triangle{DBE} \sim \triangle{CDF}$ nên $\dfrac{DB}{CD} = \dfrac{EB}{FD} = \dfrac{ED}{FC}$
Do $AEDF$ là hcn nên $FD = EA$ và $ED = FA$, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và định lý Pytago: $$\dfrac{DB\cdot DC}{DC^2} = \dfrac{EB\cdot EA}{FD^2} = \dfrac{FA \cdot FC}{FC^2} = \dfrac{EB \cdot EA+FA\cdot FC}{DC^2}$$
Suy ra đpcm

 

[Akira Rin]

a) Bình phương các số đo đấy lên và thử dùng đến định lý Pythagores đảo đi xem nào.
b) Điểm E điểm F ở đâu vậy trời.
c)
d) Cuối cùng cũng thấy E và F :3

Nhờn vậy đủ rồi :3
Đề chính xác hơn đề của bạn:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Đặt BC=a, AB=c, AC=b, AD=h. Kẻ DE vuông góc AB tại E, DF vuông góc AC tại F.
a. C/m số đo độ dài h, b+c, a+h là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông
b. C/m EA.EB+FA.FC=DB.DC
c. C/m hệ thức trên đúng với mọi vị trí của D bất kì trên BC
d. . C/m AE=[tex]\frac{b^2c}{b^2+c^2}[/tex] và AF=[tex]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex]
e. C/m [tex]\frac{BF}{CF}=\frac{c^3}{b^3}[/tex]
View attachment 61840
a) Bình phương các số đo ấy lên, chú ý rằng $2bc=2ah$ nên ta được [tex]h^{2}+(b+c)^{2}=(a+h)^{2}[/tex]
=> Dùng định lý Pythagores đảo
b) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật [tex]\Rightarrow AD=EF\Rightarrow AD^{2}=EF^{2}[/tex]
[tex]EA.EB+FA.FC=ED^{2}+DF^{2}=EF^{2}=AD^{2}=DB.DC(dpcm)[/tex]
c)
d) Ta có: [tex]AC^{2}.AB^{2}=AD^{2}.BC^{2}\Leftrightarrow \frac{AD^{2}}{AB}=\frac{AC^{2}.AB}{BC^{2}}\Leftrightarrow AE=\frac{b^{2}c}{AB^{2}+AC^{2}}=\frac{b^{2}c}{b^{2}+c^{2}}(dpcm)[/tex]
Cái còn lại làm tương tự...
e)[tex]\frac{c^{4}}{b^{4}}=\frac{AB^{4}}{AC^{4}}=\frac{BD^{2}.BC^{2}}{CD^{2}.BC^{2}}=\frac{BD^{2}}{CD^{2}}=\frac{BE.BA}{CF.CA}\Rightarrow \frac{c^{3}}{b^{3}}=\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BE}{CF}(dpcm)[/tex]

Bạn giải thích rõ hơn câu a được ko?

 

[lengoctutb]

Bạn giải thích rõ hơn câu a được ko?

Theo hệ thức lượng$,$ ta có $:$ $AB.AC=AH.BC \Leftrightarrow bc=ah$
Lại theo định lý $Pythagoras$$,$ ta có $:$ $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2} \Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$
Khi đó $:$ $h^{2}+(b+c)^{2}=h^{2}+b^{2}+2bc+c^{2}=h^{2}+2ah+a^{2}=(a+h)^{2}$
Theo định lý $Pythagoras$ đảo$,$ ta có $:$ $h$$,$ $b+c$$,$ $a+h$ là ba cạnh của một tram giác vuông$.$ $($đpcm$)$

 

[Buithikieulong]

hình như bạn iceghost ngộ nhận rồi thì phải. khi D di chuyển trên BC thì AD sẽ ko còn là đường cao của tam giác ABC nữa chứ