Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

[ngochaad]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng; trong một tam giác vuông ta luôn có :
a, b+c = 2r+2R
b, [tex]\frac{r}{a}\leq (\sqrt{2}-1):2[/tex]
c, 0.4<[tex]\frac{r}{h}<0.5[/tex]
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bài 2: cho tam giác ABC , có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
a, cot B + cot C [tex]\geq \frac{2}{3}[/tex]
b, [tex]AB^{2}+AC^{2}=5BC^{2}[/tex]

 

[kingsman(lht 2k2)]

Bài 1: Chứng minh rằng; trong một tam giác vuông ta luôn có :
a, b+c = 2r+2R
b, [tex]\frac{r}{a}\leq (\sqrt{2}-1):2[/tex]
c, 0.4<[tex]\frac{r}{h}<0.5[/tex]
r là bán kính đường tròn nội tiếp
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bài 2: cho tam giác ABC , có trung tuyến CM vuông góc với trung tuyến BN. Chứng minh:
a, cot B + cot C [tex]\geq \frac{2}{3}[/tex]
b, [tex]AB^{2}+AC^{2}=5BC^{2}[/tex]

câu 2 nhé
a)Gọi G là trọng tâm ,D là chân đường cao hạ từ A xuống BC , H là chân đường cao hạ từ G xuống BC ta có :
[tex]cot B +cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}\geq \frac{2HG}{3HG}=\frac{2}{3}[/tex] (dcpcm)
b)
gọi I là giao giữa BN với CM
đặt a=IN , B=IM
ta có [tex]AB^{2}=4MB^{2}=4(4a^{2}+b^{2})[/tex]
và [tex]AC^{2}=4NC^{2}=4(a^{2}+4b^{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}=4(5a^{2}+5b^{2})=5(4a^{2}+4b^{2})=5BC^{2}[/tex]
(dcpcm)
Vẽ hình ra để dễ chứng minh

 

[Tạ Đặng Vĩnh Phúc]

1)


Mình không nghĩ ra cách nào nên chắc dùng hình học làm bài này:
[tex]\frac{DB}{DC} = \frac{c}{b} \Leftrightarrow \frac{BD}{c} = \frac{DC}{b} = \frac{a}{b+c} \Rightarrow BD = \frac{ac}{b+c}[/tex]
Tương tự:
[tex]\frac{ID}{IA} = \frac{BD}{BA} = \frac{\frac{ac}{b+c}}{c} = \frac{a}{b+c} \Leftrightarrow \frac{ID}{a} = \frac{IA}{b+c} = \frac{AD}{a+b+c}[/tex]
Cái quan trọng vẫn là tính được AD
Kẻ thêm tý:

[tex]\frac{XD}{AC} = \frac{BD}{BC}= \frac{\frac{ac}{b+c}}{a} = \frac{c}{b+c} \Leftrightarrow XD = \frac{bc}{b+c} \Leftrightarrow AD = \frac{bc\sqrt{2}}{b+c}[/tex]

Thôi tới đây rồi bạn thế vào công việc còn lại là chứng minh đẳng thức thôi
với R = a/2 nhé

bạn cũng có thể áp dụng công thức R = a/2, S = pr <=> r = S/p = 1/2 * bc / (1/2 * (a+b+c) = bc/(a+b+c) rồi lại thế vào là xong câu 1.a

 

[iceghost]

1a) Từ tâm nội tiếp $I$ (giao 3 đường phân giác) hạ $ID \perp BC$, $IE \perp AC$, $IF \perp AB$
Dùng tg bằng nhau bạn CM $AE = AF$, $CE = CD$, $BD = BF$. Ngoài ra có $AEIF$ là hình vuông nên $r = IE = AE = AF$.
$BC = 2R$ thì quá rõ rồi nhé
Tới đây ta có: $b+c = AE+CE+AF+FB = AE+AF+CD+DB = r+r+BC = 2r + 2R$ (đpcm)
b) Chú ý ta có $x+y \leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)}$ với $x, y$ dương
Từ câu $a$ ta có $r = \dfrac{b+c-a}2 \leqslant \dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)} - a}2 = \dfrac{\sqrt{2}a - a}2$
Suy ra $\dfrac{r}{a} \ldots$

câu 2 nhé
a)Gọi G là trọng tâm ,D là chân đường cao hạ từ A xuống BC , H là chân đường cao hạ từ G xuống BC ta có :
[tex]cot B +cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}\geq \frac{2HG}{3HG}=\frac{2}{3}[/tex] (dcpcm)
b)
gọi I là giao giữa BN với CM
đặt a=IN , B=IM
ta có [tex]AB^{2}=4MB^{2}=4(4a^{2}+b^{2})[/tex]
và [tex]AC^{2}=4NC^{2}=4(a^{2}+4b^{2})[/tex]
[tex]\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}=4(5a^{2}+5b^{2})=5(4a^{2}+4b^{2})=5BC^{2}[/tex]
(dcpcm)
Vẽ hình ra để dễ chứng minh

2a) Không rõ tại sao $\dfrac{BC}{AD} \geqslant \dfrac{2HG}{3HG}$?
b) Đã có $G$ là trọng tâm ở trên rồi còn gọi thêm giao điểm $I$ làm cái gì?

1c) Ta có $r = \dfrac{b+c-a}2$ và $h = \dfrac{bc}a$, suy ra $\dfrac{r}{h} = \dfrac{ab+ac-a^2}{2bc}$
+) Ta cần CM $\dfrac{ab+ac-a^2}{2bc} < 0.5$ hay $ab+ac-a^2 < bc$ hay $(a-b)(a-c) > 0$ (đúng)...
+) Ta sẽ CM $\dfrac{ab+ac-a^2}{2bc} \geqslant \sqrt{2}-1$ hay $ab+ac-a^2 \geqslant (\sqrt{2}-1) \cdot 2bc$ hay $a(b+c) - a^2 \geqslant (\sqrt{2}-1)[(b+c)^2 - a^2]$
Chia hai vế cho $b+c-a > 0$ có $a \geqslant (\sqrt{2} - 1)(b+c+a)$ hay $\sqrt{2}a \geqslant b+c$. Cái này đúng do $\sqrt{2}a = \sqrt{2(b^2+c^2)} \geqslant b+c$
Suy ra $\dfrac{r}{h} \geqslant \sqrt{2}-1 > 0.4$