Hệ thức lượng trong tam giác vuông

[hungphino1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp e bài này vs ạ:

Cho Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi HE, HF lần lượt là các đường cao of tam giác AHB & AHC

1.CMR: [TEX]BC^2= 3.AH^2+BE^2+CF^2[/TEX]

2.Giả sử BC=2a là độ dài cố định.Tìm giá trị min của [TEX]BE^2+CF^2[/TEX]

3.CMR: [TEX]BE^2[/TEX]=[TEX]\frac{BH^2}{BC}[/TEX]. Tính theo a giá trị [TEX]\sqrt[3]{BE^2}[/TEX] + [TEX]\sqrt[3]{CF^2}[/TEX]

Thks mn

 

[hn3]

Em vẽ hình nhé ^^

1) CMR : [TEX]BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2[/TEX]

Tứ giác EHFA có [TEX]\hat{AEH}=\hat{HFA}=\hat{EAF}=90^o[/TEX] và [TEX]EH // AF ; EA // HF[/TEX] nên tứ giác EHFA là hình chữ nhật .

Ta có :

[TEX]BC^2=AB^2+AC^2=(EB+EA)^2+(FA+FC)^2=(BE^2+CF^2)+EA^2+AF^2+2.EB.EA+2.FA.FC[/TEX]

Vậy , ta phải CMR : [TEX]EA^2+AF^2+2.EB.EA+2.FA.FC=3AH^2[/TEX]

Xét tam giác vuông BHA : [TEX]EA.EB=EH^2 \ => \ 2.EB.EA=2.EH^2(1)[/TEX]

Xét tam giác vuông CHA : [TEX]FA.FC=FH^2 \ => \ 2.FA.FC=2.FH^2(2)[/TEX]

Cộng (1) với (2) : [TEX]2.EB.EA+2.FA.FC=2(EH^2+FH^2)=2(EH^2+EA^2)=2.AH^2[/TEX]

Mà [TEX]EA^2+AF^2=EA^2+EH^2=AH^2[/TEX]

Suy ra điều phải chứng minh .

2) Tìm min của [TEX]BE^2+CF^2[/TEX] biết [TEX]BC=2a[/TEX] .

[TEX]BE^2=BH^2-EH^2[/TEX]

[TEX]CF^2=CH^2-FH^2[/TEX]

Cộng lại : [TEX]BE^2+CF^2=BH^2+CH^2-(EH^2+HF^2)=BH^2+CH^2-(EH^2+EA^2)[/TEX]

[TEX]=BH^2+CH^2-AH^2=BH^2+CH^2-BH.CH[/TEX] (do [TEX]AH^2=BH.CH[/TEX])

[TEX]\geq 2.BH.CH-BH.CH=BH.CH[/TEX] (theo Cosi)

=> [TEX]min=BH.CH[/TEX] . Dấu "=" khi [TEX]BH^2=CH^2 \ <=> \ BH=CH[/TEX]

<=> [TEX]\Delta ABC[/TEX] vuông cân ở A .

[TEX]<=> \ BH=CH=a \ => \ min=a^2[/TEX] .

@-)@-)