Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác nâng cao

[0toanđnn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b và các góc thỏa:
[tex]\frac{1 + \cos A}{a} + \frac{1 + \cos B}{b} + \frac{1 + \cos C}{c} = \frac{27}{2(a+b+c)}[/tex]
Chứng minh tam giác ABC đều.

 

[Ngoc Anhs]

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b và các góc thỏa:
[tex]\frac{1 + \cos A}{a} + \frac{1 + \cos B}{b} + \frac{1 + \cos C}{c} = \frac{27}{2(a+b+c)}[/tex]
Chứng minh tam giác ABC đều.

Ta có:
[tex]\frac{1+cosA}{a}=\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2abc}=\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2abc}[/tex]
Tương tự cũng có: [tex]\frac{1+cosB}{b}=\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2abc} \\ \frac{1+cosC}{c}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2abc}[/tex]
[tex]\Rightarrow VT=\frac{(a+b+c)(b+c-a+c+a-b+a+b-c)}{2abc}=\frac{(a+b+c)^2}{2abc}[/tex]
Đẳng thức[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{abc}=\frac{27}{a+b+c} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)^3=27abc \ (1)[/tex]
Theo Cauchy: [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 27abc \ (2)[/tex]
Từ $(1)$ và $(2)$ => đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Hay [tex]\Delta ABC[/tex] đều

 

[0toanđnn]

Ta có:
[tex]\frac{1+cosA}{a}=\frac{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{a}=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2abc}=\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2abc}[/tex]
Tương tự cũng có: [tex]\frac{1+cosB}{b}=\frac{(c+a-b)(c+a+b)}{2abc} \\ \frac{1+cosC}{c}=\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{2abc}[/tex]
[tex]\Rightarrow VT=\frac{(a+b+c)(b+c-a+c+a-b+a+b-c)}{2abc}=\frac{(a+b+c)^2}{2abc}[/tex]
Đẳng thức[tex]\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{abc}=\frac{27}{a+b+c} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)^3=27abc \ (1)[/tex]
Theo Cauchy: [tex]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \\ \Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 27abc \ (2)[/tex]
Từ $(1)$ và $(2)$ => đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Hay [tex]\Delta ABC[/tex] đều

Vì sao cái vế trái mất số 2 ở mẫu rồi ạ?

 

[Ngoc Anhs]

Vì sao cái vế trái mất số 2 ở mẫu rồi ạ?

Vì mẫu của 2 vế đều có $2$ thì triệt tiêu rồi