Toán 9 Hệ thức lượng giác

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho góc a với [tex]0^{\circ}< x <45^{\circ}[/tex]. C/m
a. [tex]sin2x=2sinx.cosx[/tex]
b. [tex]cos2x=2cos^2x-1[/tex]
c. [tex]tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/tex]
2/ Tam giác ABC và DEF có AB=AC=DE=DF và [tex]\widehat{BAC}<\widehat{EDF}[/tex]. C/m BC<EF
3/ Tam giác ABC có góc A<45, góc B<45, C/m [tex]S_{ABC}=\frac{1}{4}(BC^2sin2B+AC^2sin2A)[/tex]

 

[Akira Rin]

@Ann Lee @Tạ Đặng Vĩnh Phúc @Nữ Thần Mặt Trăng giúp em với ạ

 

[Buithikieulong]

chưa có ai giải, vào hội thoại đi

 

[mỳ gói]

1/ Cho góc a với [tex]0^{\circ}< x <45^{\circ}[/tex]. C/m
a. [tex]sin2x=2sinx.cosx[/tex]
b. [tex]cos2x=2cos^2x-1[/tex]
c. [tex]tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/tex]
2/ Tam giác ABC và DEF có AB=AC=DE=DF và [tex]\widehat{BAC}<\widehat{EDF}[/tex]. C/m BC<EF
3/ Tam giác ABC có góc A<45, góc B<45, C/m [tex]S_{ABC}=\frac{1}{4}(BC^2sin2B+AC^2sin2A)[/tex]

bài 1 / vẽ hình ra là ra ngay
2/ cái này hình như đã cm rất nhiều ở lớp 7 . quan hệ góc lớn hơn cạnh lớn hơn. hệ quả nâng cao .

 

[lengoctutb]

1/ Cho góc a với [tex]0^{\circ}< x <45^{\circ}[/tex]. C/m
a. [tex]sin2x=2sinx.cosx[/tex]
b. [tex]cos2x=2cos^2x-1[/tex]
c. [tex]tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/tex]
2/ Tam giác ABC và DEF có AB=AC=DE=DF và [tex]\widehat{BAC}<\widehat{EDF}[/tex]. C/m BC<EF
3/ Tam giác ABC có góc A<45, góc B<45, C/m [tex]S_{ABC}=\frac{1}{4}(BC^2sin2B+AC^2sin2A)[/tex]

$a.$ Dựng $\Delta ABC$ vuông ở $A$$.$ Vẽ đường phân giác $BD$ $(D \in AC)$$,$ vẽ $DE \perp BC$ tại $E$$.$ Đặt $\widehat{ABD}=x$
Do $BD$ là trung trực của $AE$ nên $BA=BE$ và $DA=DE$
Do tứ giác $BADE$ nội tiếp nên theo định lý $Ptoleme$$,$ ta có $:$ $BA.ED+AD.BE=AE.BD \Leftrightarrow 2AD.AB=AE.BD$
Chứng minh được $:$ $\Delta CEA \backsim \Delta CDB$ $(g-g)$ $\Rightarrow \frac{EA}{BD}=\frac{AC}{BC}$
Ta có $:$ $2sinx.cosx=2\frac{DA}{DB}.\frac{BA}{BD}=\frac{2AD.AB}{BD^{2}}=\frac{AE.BD}{BD^{2}}=\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}=sinB=sin2x$ $($đpcm$)$

$b.$ Ta có $:$ $sin^{2}2x+cos^{2}2x=1 \Leftrightarrow cos^{2}2x=1-sin^{2}2x=1-4sin^{2}x.cos^{2}x=1-4(1-cos^{2}x).cos^{2}x=4cos^{4}x-4cosx+1$
$\Leftrightarrow cos^{2}2x=(2cos^{2}x-1)^{2} \Leftrightarrow cos2x=2cos^{2}x-1$ $($do $0^{\circ}< x <45^{\circ}$$)$ $($đpcm$)$

$c.$ Ta có $:$ $cos2x=2cos^{2}x-1=2cos^{2}x-(sin^{2}x+cos^{2}x)= 2cos^{2}x-sin^{2}x-cos^{2}x=cos^{2}x-sin^{2}x$
Khi đó $:$ $tan2x=\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{2sinx.cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x}=\frac{\frac{2sinx.cosx}{cos^{2}x}}{\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}-\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=\frac{\frac{2sinx}{cosx}}{1-(\frac{sinx}{cosx})^{2}}= \frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$ $($đpcm$)$

 

[Buithikieulong]

định lý ptoleme là gì vậy bạn

 

[lengoctutb]

định lý ptoleme là gì vậy bạn

Bạn có thể tra định lý $Ptoleme$ và cách chứng minh ở $Google$ nha $!$

 

[hdiemht]

định lý ptoleme là gì vậy bạn

Google thẳng tiến thì nhanh hơn đó bạn!!
Mình chỉ nói ngắn gọn về Ptoleme!
Có thể phát biểu theo định lí thuận và đảo:

• Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.
• Ví dụ: Khi $ ABCD $ nội tiếp thì [tex]AC.BD=AB.CD+BC.AD[/tex]
  
• Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
  
• Ví dụ: Ngược lại phía trên!

 

[Linh Junpeikuraki]

Nếu ôn thi học sinh giỏi mà bắt cm ghê thật thiết nghĩ cô giáo cũng quá siêu đẳng

1/ Cho góc a với 0∘<x<45∘0∘<x<45∘0^{\circ}< x sin2x=2sinx.cosx

thay vì chứng mình vòng véo như thế
nếu bài đã cho giới hạn góc thì bạn sẽ chọn 30 độ
ta có sin60 =căn 3/2
2sin30cos30=2.1/2.căn 3/2=sin 60
=>đẳng thức đúng

Bạn có thể tra định lý $Ptoleme$ và cách chứng minh ở $Google$ nha $!$

cái này được ko nhỉ
mình chả phải hsg mấy cái chứng minh CT vì nó đều có ở sgk hihi

 

[iceghost]

1/ Cho góc a với [tex]0^{\circ}< x <45^{\circ}[/tex]. C/m
a. [tex]sin2x=2sinx.cosx[/tex]
b. [tex]cos2x=2cos^2x-1[/tex]
c. [tex]tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/tex]

Mấy cái này bạn có thể dễ dàng tìm thấy trên mạng, có nhiều phép chứng minh hay, bạn nên tham khảo thêm
Sau đây mình xin trích lại một chứng minh câu a: Kẻ đường trung tuyến $AM$ và đường cao $AH$. Đặt $\widehat{ABC} = x$ thì $\widehat{AMC} = 2x$ do $\triangle{AMB}$ cân tại $M$.
Giả sử $AB > AC$ thì $\widehat{C} > \widehat{B}$ hay $90^\circ > 2\widehat{B}$ hay $x < 45^\circ$
Ta có $2\sin x \cos x = \dfrac{2AH}{AB} \cdot \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2AH}{2AM} = \dfrac{AH}{AM} = \sin 2x$ đpcm

Các câu b, c bạn có thể dùng câu a để chứng minh

 

[Akira Rin]

$a.$ Dựng $\Delta ABC$ vuông ở $A$$.$ Vẽ đường phân giác $BD$ $(D \in AC)$$,$ vẽ $DE \perp BC$ tại $E$$.$ Đặt $\widehat{ABD}=x$
Do $BD$ là trung trực của $AE$ nên $BA=BE$ và $DA=DE$
Do tứ giác $BADE$ nội tiếp nên theo định lý $Ptoleme$$,$ ta có $:$ $BA.ED+AD.BE=AE.BD \Leftrightarrow 2AD.AB=AE.BD$
Chứng minh được $:$ $\Delta CEA \backsim \Delta CDB$ $(g-g)$ $\Rightarrow \frac{EA}{BD}=\frac{AC}{BC}$
Ta có $:$ $2sinx.cosx=2\frac{DA}{DB}.\frac{BA}{BD}=\frac{2AD.AB}{BD^{2}}=\frac{AE.BD}{BD^{2}}=\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}=sinB=sin2x$ $($đpcm$)$

$b.$ Ta có $:$ $sin^{2}2x+cos^{2}2x=1 \Leftrightarrow cos^{2}2x=1-sin^{2}2x=1-4sin^{2}x.cos^{2}x=1-4(1-cos^{2}x).cos^{2}x=4cos^{4}x-4cosx+1$
$\Leftrightarrow cos^{2}2x=(2cos^{2}x-1)^{2} \Leftrightarrow cos2x=2cos^{2}x-1$ $($do $0^{\circ}< x <45^{\circ}$$)$ $($đpcm$)$

$c.$ Ta có $:$ $cos2x=2cos^{2}x-1=2cos^{2}x-(sin^{2}x+cos^{2}x)= 2cos^{2}x-sin^{2}x-cos^{2}x=cos^{2}x-sin^{2}x$
Khi đó $:$ $tan2x=\frac{sin2x}{cos2x}=\frac{2sinx.cosx}{cos^{2}x-sin^{2}x}=\frac{\frac{2sinx.cosx}{cos^{2}x}}{\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}-\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}}=\frac{\frac{2sinx}{cosx}}{1-(\frac{sinx}{cosx})^{2}}= \frac{2tanx}{1-tan^{2}x}$ $($đpcm$)$

bạn giúp mình bài 3 với. nó khó hơn mình nghĩ

 

[iceghost]

bạn giúp mình bài 3 với. nó khó hơn mình nghĩ

Bài 3 bạn ứng dụng câu 1a nhé

 

[Akira Rin]

@Ann Lee @huythong1711.hust @Nữ Thần Mặt Trăng @Tạ Đặng Vĩnh Phúc @hdiemht bạn giúp mình câu 3 với