Hệ quả Cauchy Schwarz

[worker1112]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người chứng minh hộ hệ quả này với: [TEX]\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}[/TEX]

 

[vuive_yeudoi]

Mọi người chứng minh hộ hệ quả này với: [TEX]\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}[/TEX]

Bất đẳng thức đó đúng với các số thực bất kỳ $ \displaystyle x,y,z $ và các số dương $ \displaystyle a,b,c $ nha em .

Đầu tiên em đi chứng minh cái này đi đã :
$$ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \ge \frac{(x+y)^2}{a+b} $$
Bất đẳng thức đó tương đương với
$$ \frac{bx^2+ay^2}{ab} \ge \frac{x^2+2xy+y^2}{a+b} $$
Tương đương với
$$ (a+b)(bx^2+ay^2) \ge ab(x^2+2xy+y^2) $$
Tương đương
$$ a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy $$
Tương đương với
$$ (ay-bx)^2 \ge 0 \ (\text{đúng}) $$
Vậy
$$ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \ge \frac{(x+y)^2}{a+b} $$
Suy ra
$$ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c} \ge \frac{(x+y)^2}{a+b} +\frac{z^2}{c} \ge \frac{((a+b)+c)^2}{(a+b)+c} =\frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$$

 

[forum_]

Theo Schwartz:

$(\dfrac{x}{\sqrt[]{a}}. \sqrt[]{a} + \dfrac{y}{\sqrt[]{b}}. \sqrt[]{b} + \dfrac{z}{\sqrt[]{c}}. \sqrt[]{c})^2$ \leq $(\dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{b} + \dfrac{z^2}{c})(a + b + c)$

\Rightarrow Đpcm

Dấu " = " xảy ra khi chỉ khi $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{c}{z}$

 

[braga]

$$\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}= \sum \dfrac{(ay-bx)^2}{ab(a+b+c)}+\dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$$