he pt

Q

quy9a18

Hệ pt

cmr he pt sau co dung 2 nghiem thoa man x>0,y>0:

e^x=2011 - y/(sqrt(y^2-1))
va e^y=2011 - x/(sqrt(x^2-1))

Giải: DK: |x|,|y|>1
Nhận dạng- Hệ phương trình đối xứng
Cách giải: e^x-e^y=x/can(x^2-1)-y/can(y^2-1)
<=>e^x-x/can(x^2-1)=e^y-y/can(y^2-1).
Bạn tiếp tục dùng phương pháp đạo hàm. f(t)=e^t-t/can(t^2-1).
f'(t)=e^t+1/(y^2-1)can(y^2-1)>0 với mọi |t|>1
Vậy x=y. Thì ta có:
e^x=2011 - x/(sqrt(x^2-1))
<=>e^x + x/(sqrt(x^2-1)) =2011. Vậy x>0 thì phương trình này mới có nghiệm
Tiếp tục xét f(x)=e^x + x/(sqrt(x^2-1))
f'(x)=0<=>x^2-1=e^(-3x). Có 1 nghiệm x0 duy nhất.
Vẽ bảng biến thiên:
Ta chứng minh được pt đã cho có hai nghiệm x1, x2>0.

 
T

takno

thank b ve bai giai tren.nhung why x>0 he moi co nghiem vs dkxd tren.b noi ro vs giai ki hon phan sau dk k.chu y rang x>1 or x<-1.thank nhiu.
 
T

teddy2705

Theo tớ thì k phải là x>0 thì pt mới có n0 mà phải cm như sau:
từ x=y, thế vào pt(1), đc:
[TEX]{e}^{x}+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}=2011[/TEX]
Đặt :[TEX]f(x)={e}^{x}+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}[/TEX]
=> có :[TEX]f'(x)={e}^{x}-\frac{1}{\sqrt{{({x}^{2}-1)}^{3}}}[/TEX]
=>[TEX]f''(x)={e}^{x}+\frac{10x}{\sqrt{{({x}^{2}-1)}^{5}}}> 0[/TEX] với mọi x>0(sở dĩ cho x>0 là vì vậy)
=>f'(x)=0 có n0 ! => f(x)=2011 có 2 n0 pb => hệ có 2 n0 pb
 
Q

quy9a18

Toan hay

<=>e^x + x/(sqrt(x^2-1)) =2011.
Bạn chú rằng khi x<-1 thì e^x<1/e (y=e^x là hàm tăng) còn x/(sqrt(x^2-1))<0. Cộng lại làm sao bằng 2011 hả bạn. Vậy x>0 thì phương trình này mới có nghiệm (nói đúng hơn là x>1 đó)
 
Q

quy9a18

Toan

Khẳng định x>0 thì mới đúng đề bài chứ bạn. Chứ lỡ đâu trong 2 nghiệm đó có 1 nghiệm âm thì sao mà loại.
Cách của bạn cũng đúng bằng cách đạo hàm hai lần. Còn tôi thì dùng giải nghiệm và chứng minh là nghiệm duy nhất e^x*(căn(x-1))^3=1<=>e^(-x)=(căn(x-1))^3. Một hàm tăng, một hàm giảm.
Các bạn đồng ý chứ!. Chúc các bạn thành công:p
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom