Đặt [imath]f(t)=2t^3-7t^2+8t-2[/imath] thì hệ phương trình trở thành:
[imath]\begin{cases} y=f(x) \\ z=f(y) \\ x=f(z) \end{cases}[/imath]
[imath]f'(x)=6x^2-14x+8=2(x-1)(3x-4)[/imath]
Ta có bảng biến thiên của [imath]f(x)[/imath] như sau:
[math]\begin{array}{c|ccccccccccc} x & -\infty & & \dfrac{1}{2} & & 1 & & \dfrac{4}{3} & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & & + & & 0 & - & 0 & & & + & \\ \hline & & & & & & & & & & & +\infty \\ & & & & & & & & & & \nearrow & \\ & & & & & 1 & & & & 2 & & \\ & & & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & & \\ & & & \dfrac{1}{2} & & & & \dfrac{26}{27} & & & & \\ & & \nearrow & & & & & & & & & \\ f(x) & -\infty & & & & & & & & & & \end{array}[/math]Nhận thấy nếu [imath]x \in [2,+\infty)[/imath] thì [imath]y,z \in [2,+\infty)[/imath].
Khi đó, không mất tính tổng quát giả sử [imath]x \geq y[/imath].
[imath]\Rightarrow f(z) \geq f(x)[/imath].
Mà [imath]f(x)[/imath] đồng biến trên [imath][2,+\infty)[/imath] nên [imath]z \geq x[/imath]
[imath]\Rightarrow f(y) \geq f(z) \Rightarrow y \geq z[/imath]
[imath]\Rightarrow y \geq z \geq x[/imath]
Kết hợp với [imath]x \geq y[/imath] ta được [imath]x=y=z[/imath]. Thay lại vào hệ ta được [imath]x=y=z=2[/imath].
Tương tự với [imath]x \in (-\infty,1][/imath] thì ta có nghiệm [imath]x=y=z=\dfrac{1}{2}[/imath] và [imath]x=y=z=1[/imath]
Xét [imath]x \in (1,2)[/imath]. Dựa vào bảng biến thiên thì ta có [imath]f(z)=x \in (1,2) \Rightarrow z \in (\dfrac{4}{3},2)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(y)=z \in (\dfrac{4}{3},2) \Rightarrow y \in (\dfrac{4}{3},2)[/imath]
[imath]\Rightarrow f(x)=y \in (\dfrac{4}{3},2) \Rightarrow x \in (\dfrac{4}{3},2)[/imath]
Từ đó [imath]x,y,z \in (\dfrac{4}{3},2)[/imath]. Không mất tính tổng quát, giả sử [imath]x \geq y[/imath]
[imath]\Rightarrow f(z) \geq f(x)[/imath].
Vì [imath]f(x)[/imath] đồng biến trên [imath](\dfrac{4}{3},2)[/imath] nên [imath]z \geq x \Rightarrow f(y) \geq f(z) \Rightarrow y \geq z[/imath]
[imath]\Rightarrow y \geq z \geq x \geq y \Rightarrow x=y=z[/imath].
Thay lại vào hệ ta thấy vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm [imath](x,y,z) \in \lbrace{ (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}), (1,1,1), (2,2,2) \rbrace}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Hàm số và ứng dụng của đạo hàm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
