Toán 10 Hệ phương trình

[Kasparov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ :[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y=0 & & \\ 2x^{2}+2xy+y^{2}-2y=0 & & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Ann Lee]

Giải hệ :[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y=0 & & \\ 2x^{2}+2xy+y^{2}-2y=0 & & \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y=0 (1)& & \\ 2x^{2}+2xy+y^{2}-2y=0 (2)& & \end{matrix}\right.[/tex]
Xét: $PT(1)-\frac{9}{2}PT(2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y-9x^{2}-9xy-\frac{9}{2}y^{2}+9y=0$
$\Leftrightarrow -8x^{2}-7xy-\frac{3}{2}y^{2}-2x-y=0$
$\Leftrightarrow 32x^{2}+28xy+6y^{2}+8x+4y=0$
$\Leftrightarrow(2x+y)(16x+6y+4)=0$
TH1: [tex]2x+y=0\Leftrightarrow y=-2x[/tex]
Thế vào $PT(2)$ hay $PT(1)$ cũng được.
TH2: [tex]16x+6y+4=0\Leftrightarrow x=\frac{6y+4}{-16}[/tex]
Thế vào $PT(2)$ hay $PT(1)$ cũng được.

 

[mỳ gói]

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y=0 (1)& & \\ 2x^{2}+2xy+y^{2}-2y=0 (2)& & \end{matrix}\right.[/tex]
Xét: $PT(1)-\frac{9}{2}PT(2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y-9x^{2}-9xy-\frac{9}{2}y^{2}+9y=0$
$\Leftrightarrow -8x^{2}-7xy-\frac{3}{2}y^{2}-2x-y=0$
$\Leftrightarrow 32x^{2}+28xy+6y^{2}+8x+4y=0$
$\Leftrightarrow(2x+y)(16x+6y+4)=0$
TH1: [tex]2x+y=0\Leftrightarrow y=-2x[/tex]
Thế vào $PT(2)$ hay $PT(1)$ cũng được.
TH2: [tex]16x+6y+4=0\Leftrightarrow x=\frac{6y+4}{-16}[/tex]
Thế vào $PT(2)$ hay $PT(1)$ cũng được.

Việc chọn hệ số là 1 và - 9/2 như bạn mình luôn gặp vấn đề.
Làm sao để chọn nhanh nhất có thể.
Trả lời giúp mình với.

 

[Ann Lee]

Việc chọn hệ số là 1 và - 9/2 như bạn mình luôn gặp vấn đề.
Làm sao để chọn nhanh nhất có thể.
Trả lời giúp mình với.

Mình chỉ biết cách chậm thôi :v Chọn được hệ số như vậy mất thời gian và nếu không cẩn thận thì sẽ có sai sót trong tính toán.
________
Ta cần phải tìm hệ số a sao cho $PT(1)+aPT(2)$ được PT bậc hai có 2 ẩn x;y và phân tích được thành nhân tử (*)
Đưa ra cách làm tổng quát khá khó nên mình đưa ví dụ cụ thể luôn bằng bài bạn trên hỏi.
$PT(1)+aPT(2)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y+2ax^{2}+2axy+ay^{2}-2ay=0$
$\Leftrightarrow (3+a)y^{2}+(2x-10+2ax-2ay)y+x^{2}-2x+2ax^{2}=0$ (1)
[tex]\Delta _{y}=(2x-10+2ax-2a)^{2}-4(3+a)(x^{2}-2x+2ax^{2})=(-4a^{2}-20a-8)x^{2}-8(a^{2}+5a+2)x+4a^{2}+40a+100[/tex]
Để (1) phân tích được thành nhân tử thì [TEX]\Delta _{y}[/TEX] phải có dạng [tex]f^{2}(x)[/tex]
$(-4a^{2}-20a-8)x^{2}-8(a^{2}+5a+2)x+4a^{2}+40a+100=f^{2}(x)$
[tex]\Leftrightarrow \Delta '_{x}=0\Leftrightarrow [-4(a^{2}+5a+2)]^{2}-(-4a^{2}-20a-8)(4a^{2}+40a+100)=0[/tex]
PT trên có nghiệm [tex]a_{1}=-3;a_{2}=\frac{-9}{2};a_{3}=-\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{5}{2};a_{4}=\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{5}{2}[/tex]
Để bài làm nhìn đẹp ta sẽ chọn [TEX]a_{1}=-3;a_{2}=\frac{-9}{2}[/TEX]
Thử từng trường hợp thì chỉ thấy [TEX]a_{2}=\frac{-9}{2}[/TEX] thỏa mãn (*)

 

[iceghost]

Giải hệ :[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+3y^{2}-2x-10y=0 & & \\ 2x^{2}+2xy+y^{2}-2y=0 & & \end{matrix}\right.[/tex]

Cách khác (pp thế): hpt $\iff \begin{cases} x^2 + (2y-2)x + 3y^2 - 10y = 0 \ (1) \\ 2x^2 + 2xy + y^2 -2y = 0 \ (2) \end{cases}$
Nhân $2$ vào hai vế pt(1) rồi trừ vế theo vế với pt(2) ta được
$(2y-4)x + 5y^2 - 18y = 0 \iff x = \dfrac{-5y^2 + 18y}{2y-4}$ (do $y = 2$ không là nghiệm hpt)
Thay vào pt(2) rồi quy đồng ta được
$2(-5y^2+18y)^2 + 2y(-5y^2+18y)(2y-4) + (y^2-2y)(2y-4)^2 = 0$
$\iff y (y - 4) (17 y^2 - 68 y + 4) = 0$
Bạn giải tiếp nhé.