ý tưởng đặt ẩn phụ trong hệ phương trình như sau [tương đối dài ]
[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}(y^{2}+1)+2y(x^{2}+x+1)=3\\(x^{2}+x)(y^{2}+y)=1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\begin{cases} x^{2}(y^{2}+1) +2x^{2}y+2y(x+1)= 3 & \\ x(x+1)y(y+1) =1 & \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x^{2}(y+1)^{2}+2y(x+1) = 3 & \\ x(y+1)y(x+1)= 1 & \end{cases}[/tex]
đặt a=x(y+1) ;b=y(x+1)
[tex]\begin{cases} a^{2} +2b= 3 & \\ \ ab=1 & \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} b=\frac{3-a^{2}}{2} & \\ \frac{(3-a^{2})}{2} =1 & \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (3-a^{2})a=2\Leftrightarrow a^{3}-3a+2=0\Leftrightarrow a^{2}(a-1)+a(a-1)-2(a-1)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a-1)(a^{2}+a-2)=0[/tex]
[tex]\inline \Leftrightarrow[/tex] a=1 hoặc a=-2
Nếu a=1=> b=1
[tex]\begin{cases} xy+x = 1 & \color{red}{(1)} \\ xy + y + = 1 & \color{red}{(2)}\end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=y[/tex]
thế vào (2) ta được
[tex]x^{2}+x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=y[/tex]
nếu a=-2 => b=[tex]\frac{-1}{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} xy+x = -2 & \color{red}{(3)} \\ xy + y + = =\frac{-1}{2} & \color{red}{(4)}\end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow x-y=\frac{-3}{2}\Leftrightarrow y=x+\frac{3}{2}[/tex]
thế vào (3) ta được
[tex]x^{2}+\frac{5}{2}x+2=0(vn)[/tex]
vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [tex]x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
