Hệ phương trình và bất đẳng thức

[ngovanhien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1. Giải hệ phương trình
[tex]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=x(1+2\sqrt{1-y^2}) \\ \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}} \end{array} \right.[/tex]
Câu 2. Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: [tex]a^2+b^2+c^2=12[/tex]
Tìm GTNN của biểu thức:
[tex]P = \frac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}[/tex][tex]+\frac{1}{\sqrt{c^3+1}}[/tex]

 

[duynhan1]

Câu 1: Ta để ý phương trình (2) chính là hệ quả 1 BĐT quen thuộc:
$$\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \le \frac{2}{1+ab} \quad \forall a, b>0,\ ab \le 1$$
Chứng minh bằng biến đổi tương đương.

Câu 2: Dự đoán dấu "=" xảy ra khi: a=b=c=2 nên ta làm như sau:
$$\sqrt{a^3+1} = \sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac12(a+1+a^2-a+1) = \frac12 (a^2+2)$$
Do đó ta có: $$ P \ge 2 \left( \frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+2} + \frac{1}{c^2+2} \right) \ge \frac{18}{a^2+b^2+c^2+6} = 1 $$
Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=2$


_______________________________________________________________