Toán Hệ phương trình (đề ôn HSG)

[Nguyễn Mạnh Trung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]a)\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(x+y+2)=4(y+2) & \\ x^{2}+y^{2}+x(y+2)+(y+2)(y-2)=0 & \end{matrix}\right. \\b)\left\{\begin{matrix}(x+2)\sqrt{2x-1}+(y+2)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+2)(y+2)} & \\ x+y=2xy & \end{matrix}\right. \\c)\left\{\begin{matrix}\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2 & \\ x^{3}+x^{2}+15y+30=4\sqrt[4]{27(1-y)} & \end{matrix}\right. \\d)\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}+(x^{2}+y^{2}-4)(y+2)=0 & \\ x^{2}+2y^{2}+xy+2x-4=0 & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Tony Time]

[tex]a)\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(x+y+2)=4(y+2) & \\ x^{2}+y^{2}+x(y+2)+(y+2)(y-2)=0 & \end{matrix}\right. \\b)\left\{\begin{matrix}(x+2)\sqrt{2x-1}+(y+2)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+2)(y+2)} & \\ x+y=2xy & \end{matrix}\right. \\c)\left\{\begin{matrix}\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2 & \\ x^{3}+x^{2}+15y+30=4\sqrt[4]{27(1-y)} & \end{matrix}\right. \\d)\left\{\begin{matrix}x^{3}+xy^{2}+(x^{2}+y^{2}-4)(y+2)=0 & \\ x^{2}+2y^{2}+xy+2x-4=0 & \end{matrix}\right.[/tex]

Spoiler: Bài làm câu b)

 

[Dương Bii]

b)$\left\{\begin{matrix}(x+2)\sqrt{2x-1}+(y+2)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+2)(y+2)} & \\ x+y=2xy & \end{matrix}\right.$
pt (1) $(x+2)\sqrt{2x-1}+(y+2)\sqrt{2y-1}=2\sqrt{(x+2)(y+2)}\geq 2\sqrt{(x+2)(y+2)}\sqrt[4]{(2x-1)(2y-1)}$
$\Leftrightarrow 1 \geq (2x-1)(2y-1) \Leftrightarrow 0\geq 4xy-2(x+y)$
$\Leftrightarrow 0\geq 2xy-(x+y)$ Mà ta có $2xy-x-y=0$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=1$
c)$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2 (1) & \\ x^{3}+x^{2}+15y+30=4\sqrt[4]{27(1-y)} \end{matrix}\right.$
Đặt $t = \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$
pt $(1)\Leftrightarrow (t+2)(t^3-2t^2-t+3)=0 \Leftrightarrow t=-2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=0 \Leftrightarrow x=-y.$
pt $(2)\Leftrightarrow x^2+x^2-15x+30=4\sqrt[4]{3.3.3(1+x)}\leq 10+x$ ( ĐK: $x+1\geq 0$)
$\Leftrightarrow (x-2)^2(x+5)\leq 0 \Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=-2$

a) $\left\{\begin{matrix}(x^{2}+y^{2})(x+y+2)=4(y+2)(1) & \\ -(x^{2}+y^{2})=(y+2)(x+y-2) (2)& \end{matrix}\right.$
Nhân chéo (1) và (2) $\Leftrightarrow (x^2+y^2)(y+2)(x+y+2)(x+y-2)=-4(y+2)(x^2+y^2)$
$\Rightarrow y=-2$
$\Rightarrow (x+y)^2-4=-4 \Leftrightarrow (x+y)^2=0 \Leftrightarrow x=-y$.
$...$
p/s: Câu $a)$ và câu $d)$ là một .

 

[kingsman(lht 2k2)]

thêm 1 cách giải nữa CÂU B
[tex](2)\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}=0\Leftrightarrow x=y[/tex]
thế x=y vào pt (1) dc
[tex](x+2)(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-1}-2)=0[/tex]
<=> x=-2(loại)
[tex]2\sqrt{2x-1}=2\Leftrightarrow x=1[/tex]
=>y=1
vậy S={(1;1)}

 

[Dương Bii]

thêm 1 cách giải nữa CÂU B
[tex](2)\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}=0\Leftrightarrow x=y[/tex]
thế x=y vào pt (1) dc
[tex](x+2)(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-1}-2)=0[/tex]
<=> x=-2(loại)
[tex]2\sqrt{2x-1}=2\Leftrightarrow x=1[/tex]
=>y=1
vậy S={(1;1)}

Đề là $x+y=2xy$ Ok?