hệ phươg trình 3 ẩn

D

duynhan1

caoanhzz said:
câu 2:
x+y+z=1
x^2+y^2+z^2=1
x^3+y^3+z^3=1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX](1)^2 - (2) \Rightarrow xy + yz + zx = 0 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x+y+z)(xy + yz + zx ) = 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2y + x^2z + y^2 x + y^2 z + z^2x + z^2 y + 2xyz = 0[/TEX](*)
Lại có :
[TEX](x+y+z)(x^2 + y^2 + z ^2 ) - (x^3 + y^3 z^3 ) = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x^2y + x^2z + y^2 x + y^2 z + z^2x + z^2 y = 0[/TEX](*)(*)

Từ (*)&(*)(*) [TEX]\Rightarrow xyz =0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow [/TEX]Trong 3 số [TEX]x,y,z[/TEX] có 1 số bằng 0.
Không mất tính tổng quát giả sử số đó là z .
Ta có hệ mới :

[TEX]\left{ x+y=1 (a) \\ x^2 + y^2 =1 (b)\\ x^3 + y^3 = 1(c)[/TEX]

Từ [TEX](a) * (b) - (c) \Rightarrow xy(x+y) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow xy =0 (do \ \ x+y=1 )[/TEX]

Vậy nghiệm của hệ là :

[TEX](x,y,z) = (1,0,0)[/TEX] và các hoán vị .

. .
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

caoanhzz said:
câu 1:
[tex]\left{x^2+y^2=3+xz+yz\\ y^2+z^2=4+xy+xz\\z^2+x^2=5+xy+yz [/tex[ câu 2: [tex]x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\ x^3+y^3+z^3=1[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Trừ [tex]PT_1-cho-PT_2 -ta -co"[/tex]

[tex]Co":x^2-z^2=-1+y(z-x) \Leftrightarrow (x+y+z)(x-z)=-1 [/tex]

Trừ vế của các PT ta được hệ mới tương đương .

[tex]\left{(x+y+z)(z-x)=1 \\ (x+y+z)(x-y)=1 \\ (x+y+z)(y-z)=2 [/tex]

[tex]z-x=x-y \Leftrightarrow z+y=2x [/tex]
Các phươg trình còn lại tương tự .

2.

[tex]2(xy+xz+yz)= (x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=0 \Rightarrow xy+yz+xz=0 [/tex]

[tex]1=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)+3xyz=1+3xyz \Rightarrow xyz=0 [/tex]


[tex]HPT \Leftrightarrow \left{ x+y+z=1 \\ xy+xz+yz=0 \\ xyz=0 [/tex]
x,y,z là nghiệm của phương trình bậc 3. (theo viete)

[tex]t^3-t^2=0 \Rightarrow \left[t=0 \\ t=1[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom