mình chưa làm thử dạng này bao giờ. Các bạn giúp mình với
Tìm m để hệ sau có nghiệm
điều ta cần làm là tìm cắp số (x0;y0) sao cho [TEX]x^2 - 6xy + 8y^2 [/TEX]nhỏ nhất có thể nhưng phải gắn với điều kiện [TEX]x^2 - xy - 2y^2 \le 3[/TEX]
Nhận xét rằng nếu với giá trị m cho trước hệ bpt có nghiệm (x;y) thì cũng có nghiệm (-x;-y) do đó ta chỉ cẩn tìm bộ số (x0;y0) trên miền y=>0 tức là có thể giả sử y=>0
khi đó ta có bpt thứ 2 trong hệ có nghiệm
[TEX]\frac{{y - \sqrt {9y^2 + 12} }}{2} \le x \le \frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2}[/TEX](1)
và điều ta phải làm là khảo sát hàm số [TEX]f\left( x \right) = x^2 - 6xy + 9y^2 [/TEX] với dk (1)
đạo hàm có nghiệm [TEX]x=3y[/TEX] do đó ta cần so sánh [TEX]\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2}vs3y[/TEX]
trường hợp 1: xét [TEX]\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2} \le 3y \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \le y[/TEX](2)
bởi vì ta đã g/s y=>0
khi đó [TEX] {\min f(x)}\limits_{x \in D} = f\left( {\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2}} \right)=g(y)[/TEX] và hàm này là hàm của biến y, do đó ta cần khảo sát hàm này trên với dk (2)
[TEX]g'\left( y \right) = 2\left( {\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2}} \right)\left( {1 + \frac{{9y}}{{\sqrt {9y^2 + 12} }}} \right).\frac{1}{2} - 3\left( {y + \sqrt {9y^2 + 12} } \right) - 3y\left( {1 + \frac{{9y}}{{\sqrt {9y^2 + 12} }}} \right) + 16y[/TEX]
ta sẽ Cm cho g'(y)<0 thật vậy đặt [TEX]\sqrt {9y^2 + 12} = a[/TEX]
[TEX]\begin{array}{l}g'(y) = \frac{{\left( {y + a} \right)}}{2}\left( {1 + 9\frac{y}{a}} \right) - 3(y + a) - 3y(1 + 9\frac{y}{a}) + 16y \le 0 \\ \Leftrightarrow - \left( {45y^2 - 30ya + 5a^2 } \right) \le 0 \\ \Leftrightarrow - 5(3y - a)^2 \le 0 \\ \end{array}[/TEX]
do đó g(y) nghịch biến và ta có [TEX]\min g(y) = g( + \infty )[/TEX] ta đi tính giới hạn khi [TEX]y - > + \infty [/TEX]
biến đổi
[TEX]\begin{array}{l}\lim g\left( y \right) = \lim \left[ {\left( {\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2}} \right)^2 - 3y\left( {y + \sqrt {9y^2 + 12} } \right) + 8y^2 } \right] \\ = \lim \frac{{\left[ {\frac{1}{4}\left( {1 + \frac{{\sqrt {9y^2 + 12} }}{y}} \right)^2 - 3\left( {1 + \frac{{\sqrt {9y^2 + 12} }}{y}} \right) + 8} \right]}}{{\frac{1}{{y^2 }}}} \\ \end{array}[/TEX]
sử dụng quy tắc lopitan ta tính được
[TEX]\lim \frac{{\left[ {\frac{1}{4}\left( {1 + \frac{{\sqrt {9y^2 + 12} }}{y}} \right)^2 - 3\left( {1 + \frac{{\sqrt {9y^2 + 12} }}{y}} \right) + 8} \right]}}{{\frac{1}{{y^2 }}}} = \lim \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{\sqrt {9y^2 + 12} }}{y}} \right)\left[ {\frac{{\frac{{9y^2 }}{{\sqrt {9y^2 + 12} }} - \sqrt {9y^2 + 12} }}{{y^2 }}} \right] - 3\left[ {\frac{{\frac{{9y^2 }}{{\sqrt {9y^2 + 12} }} - \sqrt {9y^2 + 12} }}{{y^2 }}} \right]}}{{ - 2.y^{ - 3} }} = - 2[/TEX]
Xét trường hợp [TEX]\frac{{y + \sqrt {9y^2 + 12} }}{2} \ge 3y \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \ge y \ge 0[/TEX](4) ta suy ra
[TEX]\min f(x) = f(3y) = - y^2=g(y) [/TEX] với dk (4) suy ra [TEX]\min g(y) = g(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}) = - \frac{4}{3}[/TEX]
Kết luận ta phải có [TEX]\frac{{m^2 + m - 6}}{{m + 1}} > - 2[/TEX] thì pt có nghiệm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
