hay lem doa

[phongkg196]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex] \frac{a^3}{b+c}+ \frac{b^3}{c+a}+ \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2} [/tex]
giải bằng bđt cosi hay schwartz nhak các bạn
cho a,b,c dương cm

 

[minhtuyb]

-Tự chuẩn hoá à : không mất tính tổng quát, giả sử:[TEX]abc=1[/TEX]
-Áp dụng Côsi cho 3 số:
[TEX]\frac{a^3}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{b+c}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}a[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{b^3}{a+c}+\frac{a+c}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{2}b[/TEX]
[TEX]\frac{c^3}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{2}c[/TEX]
Cộng 3 BĐT có:
[TEX]\sum \frac{a^3}{b+c}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b+c} \geq a+b+c-\frac{3}{2}[/TEX]
Lại có: [TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3[/TEX] (Vì [TEX]abc=1[/TEX])
Nên: [TEX]\sum \frac{a^3}{b+c}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}<DPCM>[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi: [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[son9701]

Chuẩn hoá và lm kiểu bạn cũng hay nhỉ,mình thử tự chuẩn hoá xem:
K mất tính tổng quát,giả sử a+b+c=3 hoặc abc=1.Ta có:
[TEX]A=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{b+a}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ca+cb}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta được:
[TEX]A\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2ab+2bc+2ca}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2a^2+2b^2+2c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/TEX]
Mặt khác:
Nếu a+b+c=3 thì:
[TEX]a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}[/TEX]( dpcm)
Nếu abc=1 thì:
[TEX]a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3 \Rightarrow A \geq \frac{3}{2}[/TEX]
(đpcm)

 

[vodichhocmai]

Tất cả bài giải đều sai.

Đề bài sai.

Cảnh cáo cái người ra đề vì đề sai và gửi cảnh cáo cái tiêu đề .

 

[phongkg196]

tra loi

cm cho coi nak
áp dụng bđt côsi cho ba số không âm ta có:
[tex] \frac{a^3}{b+c}+\frac{a(b+c)}{4}\geq a^2[/tex]
[tex]\frac{b^3}{a+c}\frac{b(a+c}{4}\geq b^2[/tex]
[tex]\frac{c^3}{a+b}+\frac{c(a+b)}{4}\geq c^2[/tex]
cộng vế theo vế:
[tex] \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ac}{2}[/tex]
mà
[tex] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/tex]
=> dpcm

 

[son9701]

cm cho coi nak
áp dụng bđt côsi cho ba số không âm ta có:
[tex] \frac{a^3}{b+c}+\frac{a(b+c)}{4}\geq a^2[/tex]
[tex]\frac{b^3}{a+c}\frac{b(a+c}{4}\geq b^2[/tex]
[tex]\frac{c^3}{a+b}+\frac{c(a+b)}{4}\geq c^2[/tex]
cộng vế theo vế:
[tex] \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ac}{2}[/tex]
mà
[tex] a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/tex]
=> dpcm

K khác cách schwart của e ở trên lắm nhỉ.
Vì cô-si là hệ quả của schwart mà
P/s: Anh mà thấy rồi thank vào đây.Nếu thấy thank thì mod xoá bài này của e đi)