Toán Hảo bất đẳng thức

[Cuprum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Tìm Min $P=\frac{2}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{3}{\sqrt{x+y+z}}$

Bài 2: Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $x^2y+xy^2=x+y+3xy$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+\frac{(1+2xy)^2-3}{2xy}$

 

[leminhnghia1]

Bài 1: Cho $x,y,z>0$. Tìm Min $P=\frac{2}{x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}}-\frac{3}{\sqrt{x+y+z}}$

Ta có:
$\sqrt{xy}\leq \frac{x+4y}{4}$
$\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{x+4y+16z}{12}$
$\rightarrow x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}(x+y+z)$
Do đó: $P\geq \frac{3}{2(x+y+z)}-\frac{3}{\sqrt{x+y+z}}$
Đặt $t=\sqrt{x+y+z},t>0$ khi đó: $P\geq \frac{3}{2}(\frac{1}{t}-1)^2-\frac{3}{2}\geq -\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{16}{21};y=\frac{4}{21};z=\frac{1}{21}$