Toán Hằng đẳng thức

[Shin Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a(a-b+1) + b(b-c+1) + c(c-a+1) = a+b+c$. Chứng minh $a=b=c$
2. Cho $\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab} =\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c$. Chứng minh $a=b=c$
3. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 = 1, \dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c = \dfrac1{abc}$. Chứng minh $a=b=c$
Các bạn giúp minh với nha ^^

 

[Otaku8874]

1) $a(a-b+1) + b(b-c+1) + c(c-a+1) = a+b+c$
$ \Leftrightarrow a^{2} -ab+a+ b^{2} -bc+b+ c^{2} -ac+c = a+b+c$
$\Leftrightarrow a^{2} -ab+ b^{2} -bc+ c^{2} -ac=0$
$\Leftrightarrow 2( a^{2} -ab+ b^{2} -bc+ c^{2} -ac)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} =0$
Mà $x^{2} \geqslant 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} \geqslant 0$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a-b=0 , b-c=0, c-a=0.$
$\Leftrightarrow a=b=c$(đpcm)

 

[Otaku8874]

2)quy đồng rồi làm như câu 1

 

[Otaku8874]

3) Từ $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c = \dfrac1{abc}$ ta được $ca+bc+ac=1$
$\implies ca+bc+ac=a^2+b^2+c^2$
Làm như câu 1)