Hằng đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất

[inuyashahot]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giá trị nhỏ nhất?

1. [TEX]x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x -4y + 11[/TEX]
2. [TEX]2x^2 + y^2 - 2xy + 6x - 2y - 3[/TEX]

Hằng đẳng thức:
1. Cho [TEX]a^2 + c^2=1, a^4/b + c^4/d = 1/ b+d[/TEX]
CM [TEX]a^2004/b^1002 + c^2004/d^1002 = 2/(b+d)^1002[/TEX]

2.Tìm hệ số của hạng tử bậc cao nhất và tổng các hệ số của đa thức:
[TEX] (3-6x+4x^2)^2005 . (1-x^2)^2004 . (1-2x+3x^2-x^3)^2003 [/TEX]

3. Cho [TEX]1/x + 1/y + 1/z =0[/TEX], xyz khác 0. Tính [TEX]yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2[/TEX]

4. Tìm số nguyên dương a,b,c,d biết [TEX]1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 =1[/TEX]

 

[251295]

3. Cho [TEX]1/x + 1/y + 1/z =0[/TEX], xyz khác 0. Tính [TEX]yz/x^2 + zx/y^2 + xy/z^2[/TEX]

[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x}=-(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3}=-(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3}=-[\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}+\frac{3}{yz}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})][/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3}=-(\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xyz})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3}=-\frac{1}{y^3}-\frac{1}{z^3}+\frac{3}{xyz}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}[/TEX]

- Ta có:

[TEX]\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z^2}[/TEX]

[TEX]=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}[/TEX]

[TEX]=xyz(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})[/TEX]

[TEX]=xyz.\frac{3}{xyz}=3[/TEX]

 

[251295]

Tìm giá trị nhỏ nhất?
1. [TEX]x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x -4y + 11[/TEX]
2. [TEX]2x^2 + y^2 - 2xy + 6x - 2y - 3[/TEX]

1) [TEX]A=x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x -4y + 11[/TEX]

[TEX]=x^2+4y^2+1+4xy-2x-4y+10[/TEX]

[TEX]=(x+2y-1)^2+10 \geq 10[/TEX]

- Vậy [TEX]A_{min}=10[/TEX] tại [TEX]x+2y-1=0[/TEX]

2) [TEX]B=2x^2 + y^2 - 2xy + 6x - 2y - 3[/TEX]

[TEX]=x^2+y^2+1-2xy-2y+2x+x^2+4x+4-8[/TEX]

[TEX]=(x-y+1)^2+(x+2)^2-8 \geq -8[/TEX]

- Vậy [TEX]B_{min}=-8[/TEX] tại [TEX]x=-2;y=-1[/TEX]

 

[251295]

1. Cho [TEX]a^2 + c^2=1, a^4/b + c^4/d = 1/ b+d[/TEX]
CM [TEX]a^2004/b^1002 + c^2004/d^1002 = 2/(b+d)^1002[/TEX]

[TEX]\frac{a^4}{b}+\frac{c^4}{d}=\frac{1}{b+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^4}{b}+\frac{c^4}{d}=\frac{(a^2+c^2)^2}{b+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^4d+c^4b}{bd}=\frac{a^4+2a^2c^2+c^4}{b+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a^4d+c^4b)(b+d)=bd(a^4+2a^2c^2+c^4)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (bc^2-da^2)^2=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow bc^2=da^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}=\frac{a^2+c^2}{b+d}= \frac {1} {b+d} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{b}=\frac{c^2}{d}=\frac{1}{b+d}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^{2004}}{b^{1002}}=\frac{c^{2004}}{d^{1002}}=\frac{1}{(b+d)^{1002}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^{2004}}{b^{1002}}+\frac{c^{2004}}{d^{1002}}=\frac{2}{(b+d)^{1002}}[/TEX]