Hàng đẳng thức tiếp

[manxinh_phuongthao_1998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh hàng đẳng thức:
a)[TEX](a+b+c)^2 + a^2 + b^2 + c^2 = (a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2[/TEX]
b)[TEX]a^4 + y^4 + (x+y)^4 = 2(x^2 + xy + y^2)^2[/TEX]
2. Cho [TEX]a^2 - b^2 = 4c^2[/TEX] Chứng minh hàng đẳng thức:
[TEX](5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)^2[/TEX]
3. Cho [TEX](a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)[/TEX] Chứng minh rằng a = b

 

[harrypham]

1. Chứng minh hàng đẳng thức:
a)[TEX](a+b+c)^2 + a^2 + b^2 + c^2 = (a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2[/TEX]
b)[TEX]a^4 + y^4 + (x+y)^4 = 2(x^2 + xy + y^2)^2[/TEX]
2. Cho [TEX]a^2 - b^2 = 4c^2[/TEX] Chứng minh hàng đẳng thức:
[TEX](5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)^2[/TEX]
3. Cho [TEX](a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)[/TEX] Chứng minh rằng a = b

1. a) Ta có [TEX](a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc+a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]=(a^2+2ab+b^2)+(b^2+2bc+c^2)+(c^2+2ca+a^2)[/TEX]
[TEX]=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2[/TEX].

b) [TEX]x^4+y^4+(x+y)^4[/TEX]
[TEX]= (x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)[/TEX]
[TEX]= (x^2+y^2)^2-x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2-x^2y^2[/TEX]
[TEX]= (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)+(x^2+xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)[/TEX]
[TEX]= 2(x^2+xy+y^2)^2[/TEX].

 

[luffy_1998]

3.
Cách 1: Xét hiệu
$(a + b)^2 = 2(a^2 + b^2) \leftrightarrow 2a^2 + 2b^2 - (a + b)^2 = 0 \leftrightarrow (a - b)^2 = 0 \leftrightarrow a = b$
Cách 2:
$a^2 + b^2 \ge 2ab \rightarrow 2a^2 + 2b^2 \ge (a + b)^2$
...
Cách 3: Áp dụng bdt Bunhia cho bộ 4 số a, b, 1, 1:
$2(a^2 + b^2) = (1 + 1)(a^2 + b^2) \ge (a + b)^2$
...
Cách 4:
$2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2 \ge (a + b)^2$
...

 

[luffy_1998]

2. $(5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (5a - 3b)^2 - 64c^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2 - 16(a^2 - b^2) = 9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a - 5b)^2$