Toán hàm số và đồ thị 9

[Conan Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho parapol (P) : [tex]y=\frac{1}{4}x^{2}[/tex] và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -4. Tìm trên trục Ox điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất (Đ/s: [tex]M(\frac{4}{5};0)[/tex]).

 

[iceghost]

Gọi $M(x;0)$. Dễ dàng tìm được $A(2;1)$ và $B(-4;4)$. Khi đó :
$$MA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(2-x)^2 + 1} \\
MB = \sqrt{[x-(-4)]^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x+4)^2 + 16} \\
\implies MA + MB = \sqrt{1+(2-x)^2} + \sqrt{(x+4)^2 + 16}$$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz (Bunhiacopski) ta có
$$\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (2-x)(x+4) + 4 \\
\implies [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2\sqrt{[(2-x)^2+1][(x+4)^2 + 16]} \geqslant [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2[(2-x)(x+4) + 4] \\
\iff [\sqrt{(2-x)^2+1} + \sqrt{(x+4)^2+16}]^2 \geqslant [(2-x)+ (x+4)]^2 + 25 \\
\iff (MA + MB)^2 \geqslant 61 \\
\iff MA +MB \geqslant \sqrt{61}$$
Dấu '=' xảy ra khi $\dfrac{2-x}{x+4} = \dfrac{1}{4} \iff x = \dfrac{4}5$
Vậy ...

 

[Conan Nguyễn]

Gọi $M(x;0)$. Dễ dàng tìm được $A(2;1)$ và $B(-4;4)$. Khi đó :
$$MA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(2-x)^2 + 1} \\
MB = \sqrt{[x-(-4)]^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x+4)^2 + 16} \\
\implies MA + MB = \sqrt{1+(2-x)^2} + \sqrt{(x+4)^2 + 16}$
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz (Bunhiacopski) ta có
$$\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (2-x)(x+4) + 4 \\
\implies [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2\sqrt{[(2-x)^2+1][(x+4)^2 + 16]} \geqslant [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2[(2-x)(x+4) + 4] \\
\iff [\sqrt{(2-x)^2+1} + \sqrt{(x+4)^2+16}]^2 \geqslant [(2-x)+ (x+4)]^2 + 25 \\
\iff (MA + MB)^2 \geqslant 61 \\
\iff MA +MB \geqslant \sqrt{61}$$
Dấu '=' xảy ra khi $\dfrac{2-x}{x+4} = \dfrac{1}{4} \iff x = \dfrac{4}5$
Vậy ...

cho mình hỏi tại sao phải là [tex]\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (2-x)(x+4) + 4 \\[/tex]
mà không phải là: [tex]\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (x-2)(x+4) + 4[/tex]

 

[iceghost]

cho mình hỏi tại sao phải là [tex]\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (2-x)(x+4) + 4 \\[/tex]
mà không phải là: [tex]\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (x-2)(x+4) + 4[/tex]

Vì nó là $(2-x)^2$ chứ không phải $(x-2)^2$

 

[Conan Nguyễn]

Vì nó là $(2-x)^2$ chứ không phải $(x-2)^2$

vậy sao phải là [tex](2-x)^{2}[/tex]

 

[Conan Nguyễn]

⟺[(2−x)2+1−−−−−−−−−−√+(x+4)2+16−−−−−−−−−−−√]2⩾[(2−x)+(x+4)]2+25⟺(MA+MB)2⩾61⟺MA+MB⩾61−−√[(2−x)2+12][(x+4)2+42]⩾(2−x)(x+4)+4⟹[(2−x)2+1]+[(x+4)2+16]+2[(2−x)2+1][(x+4)2+16]⩾[(2−x)2+1]+[(x+4)2+16]+2[(2−x)(x+4)+4]⟺[(2−x)2+1+(x+4)2+16]2⩾[(2−x)+(x+4)]2+25⟺(MA+MB)2⩾61⟺MA+MB⩾61\sqrt{[(2-x)^2+1^2][(x+4)^2 + 4^2]} \geqslant (2-x)(x+4) + 4 \\ \implies [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2\sqrt{[(2-x)^2+1][(x+4)^2 + 16]} \geqslant [(2-x)^2+1] + [(x+4)^2 + 16] + 2[(2-x)(x+4) + 4] \\ \iff [\sqrt{(2-x)^2+1} + \sqrt{(x+4)^2+16}]^2 \geqslant [(2-x)+ (x+4)]^2 + 25 \\ \iff (MA + MB)^2 \geqslant 61 \\ \iff MA +MB \geqslant \sqrt{61}

còn chổ này là sao, rõ là 25 đó là do (x-2) có thể bạn nhầm

 

[Conan Nguyễn]

Vì nó là $(2-x)^2$ chứ không phải $(x-2)^2$

mình nghĩ là nếu là (x-2) thì sau đó thu được một tam thức bậc hai, sau đó tìm giá trị nhỏ nhất thì được 25 nhưng dấu bằng xảy ra không cùng lúc với bất đẳng thức trên, còn nếu là (2-x) thì ra số 61 quá đẹp, có phải vậy không nhỉ

 

[iceghost]

mình nghĩ là nếu là (x-2) thì sau đó thu được một tam thức bậc hai, sau đó tìm giá trị nhỏ nhất thì được 25 nhưng dấu bằng xảy ra không cùng lúc với bất đẳng thức trên, còn nếu là (2-x) thì ra số 61 quá đẹp, có phải vậy không nhỉ

Uh, với lại chuyển thành $(2-x)$ thì khi cộng với $(x+4)$ nó sẽ triệt tiêu cho nhau, chỉ còn là $6$
Thực tế thì cách làm trên có thể gọn đi nếu dùng trực tiếp bđt Minkowski, nhưng mình sợ bạn chưa học nên chứng minh gián tiếp qua bđt Buniakowski như trên